Exemples d'arbres de probabilités pondérés
En théorie, le sujet est simple. Les arbres de dénombrement sont maintenant abordés dès la classe de troisième. D'ailleurs, nous nous cantonnerons ici au niveau de l'enseignement secondaire. En pratique, ces éléments de la théorie de la décision sont bien sûr plus complexes. Leur élaboration nécessite des études ou des avis d’experts (pouvant être collectés par méthode Delphi) afin d’affecter des probabilités aux diverses éventualités.
Notez que sur cette page, un vocabulaire de terminale est parfois employé. Si vous êtes en première générale ou en première technologique, dirigez-vous plutôt en page d'introduction aux arbres pondérés.
L'arbre pondéré
Un arbre pondéré est un graphe orienté. On part d’un « sommet » qui se partage en deux ou plusieurs branches primaires représentant les éventualités probabilisées d’un même évènement. Celles-ci forment une partition des possibles (comme on dit, « somme des probas = 1 »). Le poids d’une branche est la probabilité de l’évènement qu’elle indique.
Une branche primaire nous conduit à un autre sommet (ou « nœud ») duquel partent des branches secondaires. Même principe de partage de l’univers des possibles. Le poids d’une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l’évènement qu’elle représente et ainsi de suite s’il existe des branches tertiaires (ainsi, un arbre pondéré permet de visualiser des applications du théorème de Bayes).
Le poids d’un chemin, du sommet à la « feuille », est le produit des probabilités qui le composent. La probabilité d’un évènement associé à plusieurs feuilles est la somme des probabilités associées aux différents trajets qui y mènent (voir la formule des probabilités totales).
L’ordre des éventualités est guidé par une chronologie, une logique ou la connaissance que l’on a de certaines probabilités. Une arboresence permet de visualiser un tableau à \(n\) dimensions. En cas d'évènements indépendants, l'intérêt d'un arbre est limité puisqu'il reproduit toujours les mêmes partages (exemple 1).
Exemples
Exemple 1 (équiprobabilité) : voir les exercices d'initiation aux probabilités.
Exemple 2 (arbre et tableau) extrait de l’épreuve de maths du bac S 1999 pour l’Asie.
- Répartition des principaux groupes sanguins des habitants de la France :
Le sujet imposait l’ordre d’un arbre (facteur rhésus d’abord, groupe ensuite) à compléter au fil des questions. Les probabilités associées aux deux premières branches s’obtiennent par somme : \(0,821\) = \(0,35 + 0,381 + 0,062 + 0,028.\) Pour la seconde branche, on considère que chaque rhésus vaut \(100\%\) et, par une règle de trois, on détermine les proportions de chaque groupe sanguin.
On vérifie que la somme des probabilités de chaque sommet est bien égale à 1.
Exemple 3 (arbre et probabilités totales) extrait de l’épreuve de maths du bac ES 2007 pour l’Asie.
Un automobiliste rencontre successivement deux feux tricolores, le second étant réglé en fonction du premier. L’arbre est donné dans l’énoncé (\(V1\) signifie « le premier feu est vert », \(O2\) signifie « le second feu est orange », etc.). Il commence logiquement par le premier feu.
- Quelle est la probabilité que l’automobiliste rencontre les deux feux au vert ?
Réponse : \(P(V1 \cap V2)\) \(=\) \(\frac{3}{4} \times \frac{5}{12}\) \(=\) \(\frac{5}{16}.\)
- Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l’automobiliste soit au vert ?
\(P(V2)\) \(=\) \(P(V1 \cap V2)\) \(+\) \(P(R1 \cap V2)\) \(+\) \(P(O1 \cap V2).\) La première proba vient d’être calculée, la troisième est nulle et la deuxième est égale à \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{8}.\) La réponse à la question est 0,75.
Si les feux n'avaient pas été synchronisés, les évènements auraient été indépendants, c'est-à-dire que chaque noeud aurait engendré un même partage de probabilités.
Exemple 4 (arbre et probabilités conditionnelles) tiré de l’épreuve de France métropolitaine 2006 (bac ES).
- La médiathèque d’une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés. Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres. On choisit au hasard un de ces DVD.
L’énoncé fournissait un arbre incomplet (\(D\) signifie dotation et \(U\) signifie production européenne) :
- On donne, de plus, la probabilité de l’évènement \(U\) : \(P(U) = 0,7625.\) Donner la probabilité de \(U\) sachant \(D.\)
Réponse : la belle affaire ! Il suffit de lire l’arbre et de répondre 0,65.
- Calculer la probabilité que le DVD ait été acheté.
Encore un cadeau : \(1 - 0,25 = 0,75.\)
- Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne.
\(P(D \cap U)\) \(=\) \(P_D(U) × P(D)\) \(=\) \(0,65 × 0,25\) \(=\) \(0,1625.\)
- Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à 0,6.
Probabilités totales : \(P(U) - P(D \cap U) = 0,6.\)
- Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu’il soit de production européenne.
\(P_{\bar{D}}(U)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{P(\overline{D} \cap U)}{P(\overline{D})}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{0,6}{0,75}}\) \(=\) \(0,8\)
Exemple 5 (avec paramètre) : voir les problèmes de probabilités.
Exemple 6 : voir l'exercice sur probabilités conditionnelles (bac STMG).
