En théorie, voici un sujet qui n’offre pas de difficulté. Les arbres de probabilité sont maintenant abordés dès la classe de troisième. D’ailleurs, je me cantonnerai sur cette page au niveau de l'enseignement secondaire. En pratique, ces éléments de la théorie de la décision sont bien sûr plus complexes. Leur élaboration nécessite des études ou des avis d’experts (pouvant être collectés par méthode Delphi) afin d’affecter des probabilités aux diverses éventualités.

Un arbre pondéré est un graphe orienté. On part d’un « sommet » qui se partage en deux ou plusieurs branches primaires correspondant aux diverses éventualités d’un même événement. Ces éventualités sont probabilisées et forment une partition des possibles (en clair, somme des probas = 1). Le poids d’une branche primaire est la probabilité de l’événement qu’elle indique.

Une branche primaire nous conduit à un autre sommet (ou « nœud »), partage entre deux ou plusieurs branches secondaires. Même principe de partage de l’univers des possibles. Le poids d’une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l’événement qu’elle représente et ainsi de suite s’il existe des branches tertiaires… Ainsi, un arbre pondéré permet de visualiser des applications du théorème de Bayes.

Le poids d’un chemin, du sommet jusqu’à la « feuille », est le PRODUIT des probabilités qui le composent. La probabilité d’un événement associé à plusieurs feuilles est la SOMME des probabilités associées aux différents trajets qui y mènent (formule des probabilités totales).

L’ordre des éventualités est guidé soit par une chronologie, soit par une logique, soit par la connaissance ou non qu’on a de certaines probabilités. Une représentation sous forme d’arbre permet de visualiser un tableau à n dimensions. En cas de probabilités indépendantes, l'intérêt d'un arbre est assez limité puisqu'on reproduit les mêmes partages de gauche à droite.

Exemple 1 (arbre et tableau)

Cet exemple est extrait de l’épreuve de maths du bac S 1999 pour l’Asie.

Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des habitants de la France :

Le sujet imposait l’ordre d’un arbre (facteur rhésus d’abord, groupe ensuite) que le candidat devait compléter au fil des questions. Les probabilités associées aux deux premières branches s’obtiennent par simple addition (0,821 = 0,35 + 0,381 + 0,062 + 0,028). Pour la seconde branche, on considère que chaque rhésus vaut 100 % et, par une « règle de trois », on détermine les proportions de chaque groupe sanguin.

On vérifie que la somme des probabilités de chaque sommet est bien égale à 1.

Exemple 2 (arbre et probabilités totales)

Ceci est un extrait de l’épreuve de maths du bac ES 2007 pour l’Asie.

Un automobiliste rencontre deux feux tricolores successifs, le second étant réglé en fonction du premier. L’arbre est donné dans l’énoncé (V1 signifie « le premier feu est vert », O2 signifie « le second feu est orange », etc.) et il commence fort logiquement par le premier feu.

Quelle est la probabilité que l’automobiliste rencontre les deux feux au vert ?

Réponse : P(V1 ∩ V2) = (3 / 4) × (5 / 12) = 5 / 16.

Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l’automobiliste soit au vert ?

P(V2) = P(V1 ∩ V2) + P(R1 ∩ V2) + P(O1 ∩ V2). La première vient d’elle calculée, la troisième est nulle et la deuxième est égale à 1 / 2 × 7 / 8. La réponse à la question est 0,75.

Si les feux n'avaient pas été synchronisés, nous nous serions trouvé dans une situation de probabilités indépendantes, c'est-à-dire que chaque noeud aurait été partagé de la même façon.

Exemple 3 (arbre et probabilités conditionnelles)

Cette fois-ci, c’est l’épreuve de France métropolitaine 2006 (bac ES) qui nous sert d’illustration.

La médiathèque d’une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés. Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres. On choisit au hasard un de ces DVD.

L’énoncé fournissait un arbre incomplet (D signifie dotation et U signifie production européenne) :

On donne, de plus, la probabilité de l’événement U : P(U) = 0,7625. Donner la probabilité de U sachant D.

Réponse : la belle affaire ! Il suffit de lire l’arbre et de répondre « 0,65 ».

Calculer la probabilité que le DVD ait été acheté.

Encore un cadeau : 1 – 0,25 = 0,75.

Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne.

P(D ∩ U) = P_D(U) × P(D) = 0,65 × 0,25 = 0,1625.

Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à 0,6.

Probabilités totales : P(U) – p(D ∩ U) = 0,6.

Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu’il soit de production européenne.