Espace probabilisé et axiomatique de Kolmogorov
L’année 1933 ne vit pas seulement naître Jean-Paul Belmondo, Nina Simone et l’empereur Akihito. Elle vit aussi la publication de l’axiomatique de la mesure des probabilités par Andreï Kolmogorov. Cette page en présente succinctement l’axiomatique et explique la notion d’espace probabilisé.
Un espace probabilisé est noté \((Ω, A, P).\) Si les notations \(Ω\) et \(P\) sont bien normalisées, on ne trouve en revanche pas toujours la lettre \(A\) en deuxième position dans les ouvrages spécialisés. Mais qu’importe. Que signifie ce triplet ?
L’univers des possibles
\(Ω\) représente l’univers des possibles, ou espace fondamental. Cette notion est enseignée au lycée. C’est l’ensemble de tous les évènements qu'il est possible d'obtenir avec une « épreuve » aléatoire.
Si les éléments sont qualitatifs ou discrets, ils sont indiqués entre accolades (à ce stade, il est prématuré de parler de variable aléatoire) . Ainsi, l’univers associé au lancer d'un dé s’écrit \(Ω\) \(=\) \(\{1\, ; 2\, ; 3\, ; 4\, ; 5\, ; 6\}.\) Celui qui est associé à un lancer de deux dés s’écrit \(Ω\) \(=\) \(\{(1,1)\,; (1,2)\, ; …\}\) ou \(\{1\, ; 2\, ; 3\, ; 4\, ; 5\, ; 6\}^2\) à moins d’être présenté sous forme de tableau. Il comporte 36 éléments. 36 est le cardinal de \(Ω,\) qui est en l’occurrence le produit cartésien de deux espaces fondamentaux. Dans les exercices de probabilités, il est habituel que le cardinal d'un univers des possibles soit déterminé par une méthode de dénombrement.
Lorsque l’univers des possibles est présenté de façon générale, les évènements élémentaires sont habituellement indiqués par des oméga minuscules : \(Ω\) \(=\) \(\{ω_1\,; ω_2\, ; … ; ω_n\}.\)
Si la variable est continue, l’univers est présenté sous la forme d’un intervalle.
L’espace fondamental peut aussi être infini.
L’espace probabilisable
Un espace probabilisable est formalisé par un couple \((Ω\,; A).\)
\(A\) est une tribu de parties de \(Ω.\) Derrière ce terme étrange se cache une notion sur laquelle nous allons nous attarder un moment.
Les éléments d’une tribu, appelés évènements, sont ceux auxquels on peut attribuer une probabilité. L'évènement certain est \(Ω.\)
De façon plus formelle, on dit que l’ensemble \(A\) non vide est stable par complémentaire et stable par union dénombrable.
« Stable par complémentaire » signifie que si un évènement fait partie d’une tribu, son complémentaire en fait partie également. La somme du cardinal d’un élément de la tribu et du cardinal de son complémentaire est égal à \(\rm{card(Ω)}.\)
« Stable par union dénombrable » signifie que la réunion de tous les éléments de la tribu est incluse elle aussi à cette tribu, même si ce nombre d’éléments est infini (mais néanmoins dénombrable).
Ainsi, pour un élément quelconque \(B\) appartenant à \(Ω,\) une tribu de parties de \(Ω\) s’écrit : \(\{\emptyset \,; B\; \overline{B}\,; \Omega \}.\)
Il s’ensuit une stabilité par intersection (là encore, si les éléments sont dénombrables).
Si l’univers des possibles est l’ensemble des réels, la tribu engendrée par des intervalles fermés et bornés est connue sous le nom de tribu des boréliens.
L’espace probabilisé
Non seulement on a défini un espace probabilisable, mais si l’on peut aussi définir dans celui-ci une application \(P\) appelée loi de probabilité de \(A\) dans \([0\,;1],\) bingo ! Nous avons maintenant un espace probabilisé de toute beauté. Celui-ci s’écrit avec un triplet \((Ω\,; A\,; P).\)
À titre d'exemple, si l'on étudie un jeu de hasard, l'espace probabilisé est muni de la probabilité uniforme.
Les deux axiomes des probabilités sont :
- \(P(Ω) = 1\)
- \((B_n)\) est une famille d’évènements incompatibles \((n \in \mathbb{N}),\) alors \(P\left(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty} B_n \right)\) \(=\) \(\displaystyle{\sum\limits_{n=0}^{+\infty} P(B_n)}\)
\(\displaystyle{\sum P(B_n)}\) est une série à termes positifs.
Les diverses propriétés mentionnées en page de probabilités découlent de cette axiomatique.
