Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le conditionnement

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Probabilités conditionnelles

Chères probas conditionnelles grâce auxquelles de nombreux bacheliers trouvent un point pas trop difficile à obtenir lors de l’épreuve de maths…

Le concept de probabilité conditionnelle est abordé en classe de terminale dans la plupart des filières. Il s’agit d’une probabilité « sachant que », c’est-à-dire qui vient derrière une autre probabilité qui, elle, est établie. En d'autres termes, on connaît globalement la probabilité d'un événement A mais si elle est liée à un autre événement B et que, justement, on sait si B est survenu ou non, alors on peut en tenir compte pour estimer avec davantage de justesse la probabilité que A survienne.

La probabilité conditionnelle « s’oppose » ainsi à l'indépendance où un premier événement probabilisé n’implique aucune connaissance quant à la probabilité d’un second.

En terminale, on manie le conditionnement à l'aide d'une formule dans laquelle les effectifs n'apparaisssent pas. Mais si l'on dispose des effectifs, cette problématique peut être découverte dès la seconde ou la première (Cf. page exercices d'initiation aux probabilités) et l'on détermine alors des probabilités conditionnelles sans le savoir...

Soit A et B deux événements d'un univers des possibles Ω. Admettons qu'il existe un lien de causalité ou d'antériorité de A vers B (hypothèse avant tout pédagogique). La probabilité que survienne B (conséquence) sachant A (cause) peut être modélisée par un arbre pondéré. Mais pour connaître la probabilité de l'événement A sachant que B s’est réalisé, il faut utiliser la formule des probabilités conditionnelles :

proba conditionnelle

On rencontre également les notations P(A/B) et P(A|B) et la formule équivalente P(A ∩ B)PB(A) × P(B).

Exemple

Gontran est un assistant dont l'une des fonctions est le filtrage téléphonique. 60 % des appels proviennent de l'extérieur et 40 % sont internes à l'entreprise. Parmi les appels externes, 80 % ne sont pas transmis au manager et parmi les internes, 30 %.

Soit P(E) la probabilité qu'un appel provienne de l'extérieur et P(R) la probabilité que Gontran refuse de transmettre l'appel à son supérieur hiérarchique.

1- Que signifie P(E ∩ R) ?

2- Déterminez PE(R)

3- Établir l'arbre pondéré.

4- Sachant que Gontran n'a pas transmis l'appel, quelle est la probabilité que celui-ci provenait de l'extérieur ?

Réponses

1- C'est la probabilité qu'un appel provienne de l'extérieur et ne soit pas transmis.

2- Il s'agit de la probabilité de refuser la transmission de l'appel sachant que celui-ci est externe. Il suffit de transformer le pourcentage donné dans l'énoncé en probabilité : 0,8.

3- L'arbre facilitera la compréhension de la réponse 4.

arbre

4- Nous devons chercher...

externes sachant refusés

P(E ∩ R) est la probabilité qui apparaîtrait au bout de la branche du haut : soit P(E) × PE(R), c'est-à-dire 0,6 × 0,8 = 0,48. La probabilité qu'un appel provienne de l'extérieur et ne soit pas transmis est donc de 0,48.

Nous ne connaissons pas directement la probabilité qu'un appel soit refusé P(R). Mais, de même que nous venons de calculer la probabilité que l'appel soit refusé et externe, nous pouvons aussi calculer la probabilité qu'il soit refusé et interne. En additionnant les deux, nous aurons bien ce que nous cherchons (c'est le principe des probabilités totales).

P(R) = (0,6 × 0,8) + (0,4 × 0,3) = 0,6 (vous faites le lien avec les deux branches de l'arbre ?)

Donc, PR(E) = 0,48 / 0,6 = 0,8. La probabilité qu'un appel provienne de l'extérieur sachant qu'il n'est pas transmis au manager s'établit à 0,8.

Plus de deux événements

De même, pour connaître la probabilité de réalisation de trois événements A, B et C

avec 3 événements

Illustrons. Quelle est la probabilité P(D  U  A) ?

exemple d'arbre

On lit P(D) = 0,25. On voit aussi que P(U / D) = 0,65.

Donc P(U  D) = 0,25 × 0,65 = 0,1625.

De plus, P(A / U  D) = 0,1. Par conséquent, P(D  U  A) = 0,01625.

 

nain

 

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