Le conditionnement

Probabilités conditionnelles

Chères probas conditionnelles grâce auxquelles de nombreux bacheliers trouvent un point pas trop difficile à obtenir à l’épreuve de maths…

 

Notion de probabilité conditionnelle

Le concept de probabilité conditionnelle est abordé en classe de première. Il s’agit d’une probabilité « sachant que », c’est-à-dire qui vient derrière une autre probabilité qui, elle, est établie. Si vous êtes en première générale ou en terminale technologique, cette page est faite pour vous. Si vous êtes en première technologique, la page d'initiation aux probabilités conditionnelles est plus adaptée à votre programme.

En d'autres termes, on connaît la probabilité que survienne un évènement \(B.\) Or, celle-ci est liée à la probabilité que survienne un autre évènement \(A.\) Et justement, on sait si \(A\) est survenu ou non. Alors on peut tenir compte de cette connaissance pour estimer avec la probabilité que \(B\) survienne dans ce cas-là..

La probabilité conditionnelle « s’oppose » ainsi à l'indépendance où un premier évènement probabilisé n’implique aucune connaissance sur la probabilité d’un second.

En terminale, on manie le conditionnement à l'aide d'une formule dans laquelle les effectifs n'apparaisssent pas. Mais s'ils sont connus, cette problématique peut être découverte dès la seconde ou la première (voir les exercices d'initiation aux probabilités) et l'on détermine alors des probabilités conditionnelles sans le savoir...

Soit \(A\) et \(B\) deux évènements d'un univers des possibles \(Ω.\) Admettons qu'il existe un lien de causalité ou d'antériorité de \(A\) vers \(B\) (hypothèse avant tout pédagogique). La probabilité que survienne \(B\) (conséquence) sachant \(A\) (cause) peut être modélisée par un arbre pondéré. Mais pour connaître la probabilité de l'évènement \(A\) sachant que \(B\) s’est réalisé, il faut utiliser la formule des probabilités conditionnelles :

\(P_B(A) = \displaystyle{\frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

On rencontre également les notations \(P(A/B)\) et \(P(A|B)\) et la formule équivalente \(P(A \cap B)\) \(=\) \(P_B(A) × P(B).\)

 

Exercice

Gontran est un assistant dont l'une des fonctions est le filtrage téléphonique pour son supérieur hiérarchique. \(60\%\) des appels proviennent de l'extérieur et \(40\%\) sont internes à l'entreprise. Parmi les appels externes, \(80\%\) ne sont pas transmis au manageur et parmi les internes, \(30\%.\)

Soit \(P(E)\) la probabilité qu'un appel provienne de l'extérieur et \(P(R)\) la probabilité que Gontran refuse de transmettre l'appel à son supérieur.

  1. Que signifie \(P(E \cap R)\) ?

  2. Déterminez \(P_E(R)\)

  3. Établir l'arbre pondéré.

  4. Sachant que Gontran n'a pas transmis l'appel, quelle est la probabilité que celui-ci provenait de l'extérieur ?

Gontran

 

Réponses

1- \(P(E \cap R)\) est la probabilité qu'un appel provienne de l'extérieur et ne soit pas transmis.

2- \(P_E(R)\) est la probabilité de refuser la transmission de l'appel sachant que celui-ci est externe. Il suffit de transformer le pourcentage donné dans l'énoncé en probabilité : 0,8.

3- L'arbre facilitera la compréhension de la réponse 4.

arbre

4- Nous devons chercher \(P_R(E) = \displaystyle{\frac{P(E \cap R)}{P(R)}}\)

\(P(E \cap R)\) est la probabilité qui apparaîtrait au bout de la branche du haut : soit \(P(E) × P_E(R),\) c'est-à-dire \(0,6 × 0,8 = 0,48.\) La probabilité qu'un appel provienne de l'extérieur et ne soit pas transmis est donc de 0,48.

Nous ne connaissons pas directement la probabilité \(P(R)\) qu'un appel soit refusé. Mais, de même que nous venons de calculer la probabilité que l'appel soit refusé et externe, nous pouvons aussi calculer la probabilité qu'il soit refusé et interne. En additionnant les deux, nous aurons bien ce que nous cherchons (c'est le principe des probabilités totales).

\(P(R)\) \(=\) \((0,6 × 0,8) + (0,4 × 0,3)\) \(=\) \(0,6\) (vous faites le lien avec les deux branches de l'arbre ?)

Donc, \(P_R (E) = \frac{0,48}{0,6}\) \(=\) \(0,8.\) La probabilité qu'un appel provienne de l'extérieur sachant qu'il n'est pas transmis au manageur s'établit à 0,8.

Voir aussi l'exercice sur probabilités conditionnelles extrait d'une épreuve du bac STMG et les exercices sur le conditionnement au bac S.

 

Plus de deux évènements

De même, pour connaître la probabilité de réalisation de trois évènements \(A,\) \(B\) et \(C…\)

\(P(A \cap B \cap C)\) \(=\) \(P(A) \times P(B/A) \times P(C/A \cap B)\)

Illustrons. Quelle est la valeur de la probabilité \(P(D \cap U \cap A)\)?

exemple d'arbre

On lit \(P(D) = 0,25.\) On voit aussi que \(P(U/D) \cap D) = 0,65.\)

Donc \(P(U \cap D)\) \(=\) \(0,25 × 0,65\) \(=\) \(0,1625.\)

De plus, \(P(A/U \cap D) = 0,1.\) Par conséquent, \(P(D \cap U \cap A) = 0,01625.\)

 

nain