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(et fondements mathématiques)

Deux exercices d'initiation aux probabilités

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Probabilités : exercices de programme de première

Ces deux exercices corrigés qui illustraient l'ancien programme de seconde se trouvent aujourd'hui au niveau des classes de première.

Exercice 1 (équiprobabilité)

Une renarde a trois petits. Quelle est la probabilité que les trois soient des mâles ? Qu’il y ait deux femelles exactement ? On suppose qu’il y a équiprobabilité entre les sexes.

Exercice 2 (intersection et réunion d’évènements)

Un grossiste livre 80 poissons à un restaurateur. Or, 15 d’entre eux sont trop petits et 5 ne sont pas frais (dont 2 qui sont à la fois trop petits et pas frais). Hélas, le restaurateur ne se gêne pas pour tous les faire griller et les proposer à ses clients. Ne vous doutant de rien, vous entrez dans le restaurant et vous commandez un poisson grillé.

On note G le fait que le poisson soit suffisamment grand et F sa bonne fraîcheur. Les évènements contraires sont indiqués avec une barre au-dessus.

Calculer la probabilité que vous tombiez malade (en supposant que votre estomac ne supporte pas le poisson qui n'est pas frais), ainsi que P(F  G) et P(G  F).

Sachant que le poisson est trop petit, quelle est la probabilité qu’il soit frais ? Inversement, sachant que le poisson est frais, quelle est la probabilité qu’il soit trop petit ?

Corrigé 1

Déterminons d’abord toutes les possibilités. Comme l'énoncé n'impose aucune technique particulière, faisons-le de deux façons, en listant les évènements possibles et en dressant un arbre pondéré.

Pour lister les évènements possibles, il faut être méthodique et, implicitement, « numéroter » les renardeaux. Ci-dessous, M signifie « mâle » et F signifie « femelle ». Ainsi, si l’on écrit (F,F,M), on suppose que les deux premiers sont des femelles et le troisième est un mâle. Ce n’est donc pas la même chose que (M,F,F). Ces précisions étant apportées, listons les évènements : {(F,F,F), (F,F,M), (F,M,F), (F,M,M), (M,F,F), (M,F,M), (M,M,F), (M,M,M)}. Il y en a huit.

Soit P(A) la probabilité de n’avoir que des mâles. On voit bien qu’il n’existe qu’une seule possibilité : (M,M,M). Une sur huit, donc P(A) = 1 / 8 = 0,125. On peut aussi dire que la renarde a 12,5 chances sur 100 d’avoir trois rejetons mâles.

Soit P(B) la probabilité qu’il y ait deux femelles et un mâle. On peut calculer le coefficient binomial mais il est certainement plus rapide de compter. Il existe cette fois-ci trois possibilités : (F,F,M), (F,M,F) et (M,F,F). Trois sur huit, donc P(B) = 3 / 8 = 0,375.

Si l’on craint de rater une possibilité en listant les évènements, on peut dessiner un arbre pondéré. Ici, il est très simple à réaliser puisque toutes les probabilités sont égales à ½.

Ci-dessous, l’arbre a été réalisé avec le logiciel gratuit WxGeometrie. La capture d’écran permet de montrer quelles instructions ont été données.

arbre

On remarque là aussi qu’il y a huit évènements possibles (les « feuilles » de l’arbre). On voit qu’il existe un seul chemin qui correspond à l’évènement A. On multiplie les trois probabilités rencontrées sur le chemin : P(A) = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125. Pour trouver P(B), on additionne les trois probabilités correspondant aux trois chemins où se trouvent deux femelles et un mâle. P(B) = 3 × 0,125 = 0,375.

On peut d’ailleurs présenter la loi de probabilité

loi de proba

Vérification : 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Corrigé 2

Contrairement à l’exercice précédent où il y avait trois « tirages », nous sommes en présence de deux critères croisés. De plus, nous connaissons les effectifs. Ces éléments suggèrent l’utilisation d'un tableau et non d'un arbre. Construisons-le avec une double entrée, en lignes et en colonnes (ce qui s’appelle un tableau de contingence, mais ce terme n’est pas au programme). Les données de l’énoncé sont en rouge. Les autres valeurs s’en déduisent facilement.

tableau de contingence

C’est à partir de ce tableau que toutes nos probabilités seront calculées. Ainsi, nous voyons que la probabilité de tomber malade est de 5 sur 80, soit 0,0625 (c’est-à-dire 6,25 chances sur 100).

P(F  G) est la probabilité que le poisson soit de taille suffisante ET qu’il soit frais. 62 sont dans ce cas. Donc, P(F  G) = 62 / 80 = 0,775.

P(G  F) est une probabilité moins immédiate à calculer. Le poisson doit être soit grand soit frais. Il y en a 62 + 13 + 3 = 78. Donc P(G  F) = 78 / 80, soit 0,975.

Si l’énoncé était tel qu’on ne disposerait pas du tableau mais des probabilités P(G) = 0,8125 et P(F) = 0,9375, il faudrait se servir de la formule :

P(G  F) = P(G) + P(F) – P(F ∩ G) = 0,8125 + 0,9375  0,775 = 0,975.

Les dernières questions relèvent des probabilités conditionnelles et elles ne seraient pas au programme si l’on ne connaissait pas les effectifs.

Première question : on sait que le poisson est petit. Il y en a 15. On raisonne donc sur ces 15. Parmi eux, 13 sont frais, donc la probabilité cherchée est 13 / 15 = 0,867. Seconde question : même démarche. On raisonne sur 75 poissons frais. Or, 13 d’entre eux sont petits. La probabilité cherchée est 13 / 75 = 0,173. Il est important de bien voir que les deux questions étaient totalement différentes et donc que les résultats le sont aussi… On s'intéresse bien à un même évènement, mais on ne le rapporte pas aux mêmes effectifs.

 

tableau ou arbre

 

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