Une introduction aux arbres pondérés

Arbres de probabilités

Vous êtes en première générale ou en première technologique. Félicitations. En classe de seconde, vous avez déjà étudié les probabilités et représenté des successions d’évènements par des arbres des possibles. Cette année, vous évoluez encore dans les arbres mais le parcours d’accrobranche comporte une difficulté supplémentaire : les pondérations par les probabilités.

En général, un énoncé vous demande de tracer un arbre. Si ce n'est pas le cas, ce peut être malgré tout une bonne idée de le griffonner au brouillon. L’arbre en probas, c’est comme la figure en géométrie : on peut s’en passer mais il est tout de même plus pratique de visualiser le problème.

 

Construction

Illustrons sans plus attendre le principe de l’arbre pondéré par un exemple fictif.

Les services de sécurité routière d’un certain pays ont établi que, sur une route donnée, \(5\%\) des automobilistes ne mettaient pas leur clignotant lorsqu’ils dépassaient un autre véhicule à quatre roues.

clignotant gauche

On notera \(C\) l’évènement « l’automobiliste met son clignotant pour doubler » et \(\overline C \) l’évènement contraire.

Par conséquent, lorsqu‘un automobiliste s’apprête à doubler, la probabilité qu’il mette son clignotant est \(P(C) = 0,95\) et la probabilité qu’il n’indique pas son dépassement est \(P(\overline C \) = 0,05\) puisque la somme de la probabilité d’un évènement et celle de son contraire est égale à 1.

À présent, intéressons-nous au fait de mettre son clignotant droit pour signaler le rabattement après le dépassement.

On notera \(R\) l’évènement « l’automobiliste met son clignotant pour se rabattre » et \(\overline R \) l’évènement contraire.

On supposera que lorsqu’il a mis son clignotant pour dépasser, il signale son rabattement dans \(40\%\) des cas. Si vous avez déjà abordé les probabilités conditionnelles, vous savez que l’on peut écrire ceci \(P_C(R) = 0,4.\)

On supposera également que si l’automobiliste n’a pas actionné son clignotant gauche pour doubler, il ne met celui de droite pour se rabattre que dans \(2\%\) des cas.

clignotant droit

L’arbre pondéré se lit de gauche à droite. En général, lorsqu’un énoncé vous demande d'en tracer un, il n’est pas trop difficile de choisir le type d’évènement qui vient d’abord et celui qui vient ensuite (il est très rare d’avoir des arbres à plus de deux niveaux). Soit il y a antériorité entre les évènements (comme dans cet exemple), soit les probabilités qui vous sont données vous forcent votre choix (également comme dans cet exemple).

Trêve de bavardage, voici l’arbre (réalisé avec le logiciel Sine qua non) :

arbre

Que remarquer ?

À la racine de l’arbre figure \(Ω\) qui est l’univers des possibles (en filières technologiques on ne l’indique pas).

Pour chaque nœud, la somme des probabilités est égale à 1. Ici, il n’y a chaque fois que deux branches mais vous pouvez en avoir davantage. Voir les exemples d’arbres pondérés, généralement issus d’épreuves du bac.

Ainsi, 0,98 à été obtenu par \(1 - \frac{2}{100}.\)

 

Calculs

Habituellement, on n’indique pas les « feuilles » de l’arbre qui seraient les « inter ». Par exemple, la première des quatre branches correspond à la probabilité que l’automobiliste respecte le code de la route : il met son clignotant gauche pour doubler puis le droit pour se rabattre. C’est donc l’évènement \(C ∩ R.\)

Par conséquent, il suffit de multiplier les probabilités qui jalonnent ce chemin pour connaître la probabilité qu’un automobiliste respecte le code : \(P(C ∩ R)\) \(= 0,95 × 0,4\) \(= 0,38\) seulement (triste constat).

Pour connaître la probabilité qu’un automobiliste mette son clignotant pour se rabattre, il faut additionner deux branches. Ce cas de figure est au programme de première générale et de terminale technologique et il est détaillé en page de probabilités totales.

 

Probabilités indépendantes

Une expérience aléatoire à deux épreuves (oui ou non, correct ou incorrect, blanc ou noir…) est dite « de Bernoulli ». Si cette expérience est réitérée de façon identique et sans dépendre de l’expérience précédente, nous avons affaire à un schéma de Bernoulli.

L’arbre qui représente ce processus est plutôt simple puisqu’à chaque nœud sont associées les deux mêmes branches (affectées des mêmes probabilités).

Supposons que l’on observe trois automobilistes, en admettant qu’ils n’ont pas de lien entre eux. Rappelons que la probabilité que l’un d’eux actionne son clignotant gauche est \(P(C) = 0,95\) (dans cet exemple on ne se préoccupe pas du rabattement accompagné du clignotant droit).

L’arbre qui résume cette nouvelle situation est le suivant :

probas indépendantes

Par exemple, on lit que la probabilité que les trois automobilistes mettent leur clignotant gauche s’établit à \(0,95^3 ≈ 0,857.\)