Une initiation aux probabilités

Probabilités : survol du programme de seconde

Cette page propose une initiation au vocabulaire et au calcul des probabilités qui reprend quelques points du programme de maths de seconde.

Le collège, déjà si lointain…

En principe, les « probas » sont initiées au collège. Retrouvons-en le vocabulaire. À la base se trouve l’expérience aléatoire, c’est-à-dire une action dont le résultat n’est pas connu à l’avance : il existe plusieurs issues possibles pouvant toutes être probabilisées. On peut dire, par exemple, que telle issue a deux chances sur trois de se produire (si vous souhaitez procéder à des tirages aléatoires virtuels, voir la page sur les tirages aléatoires avec Python).

Un évènement est le résultat d’une ou plusieurs issues. S’il résulte d’une seule issue, il est élémentaire. Le fait d’obtenir un 6 en lançant un dé est un évènement élémentaire mais le fait d’obtenir un nombre pair est un évènement qui n’a rien d’élémentaire pour la bonne raison qu’il correspond à trois issues : \(\{2\,; 4\,; 6\}.\) La notion d’évènement contraire est très importante. Dans ces deux exemples, les évènements contraires sont « de 1 à 5 » et « nombre impair ». L'évènement contraire de l'évènement \(A\) s'écrit \(\overline{A}.\)

Un évènement certain se produit obligatoirement. C’est par exemple « faire moins de 7 avec un dé ». Un évènement impossible ne peut pas se produire, comme « faire au moins 7 avec un seul dé ». Deux évènements sont incompatibles s’ils ne peuvent se produire simultanément. Exemple : « obtenir à la fois 6 et un nombre impair avec un seul dé ». Mais vous aviez deviné tout ça…

Une probabilité est le nombre de chances que l’évènement se produise par rapport à un nombre de chances total. Cette définition prend tout son sens lorsque la probabilité est présentée sous forme de fraction. Ce nombre est compris entre 0 qui est l'évènement impossible et 1 qui est l'évènement certain.

Ce peut être une probabilité théorique. Par exemple, lors du lancer d’une pièce, on a une chance sur deux d’obtenir pile. Un sur deux s’écrit \(\frac{1}{2},\) soit 0,5.

Mais une probabilité peut aussi être déterminée par des fréquences observées. Si par exemple il y a \(24\%\) de cheveux blancs sur la tête de M. Machinchose et qu’on lui arrache un cheveu au hasard, la probabilité que celui-ci soit blanc est égale à 0,24.

On voit bien le lien qui existe entre les pourcentages et les probabilités. Simplement, on a l’habitude de ne pas les noter de la même façon pour bien montrer que les problématiques sont différentes (donc, pas de pourcentage pour présenter une probabilité !).

Des évènements sont équiprobables lorsqu’ils ont la même chance de se produire. Sauf tricherie, les évènements « tirer un cœur » et « tirer un trèfle » dans un jeu de cartes sont équiprobables.

Exemple : on lance un dé non truqué. Il y a une chance sur six de tomber sur 1, une chance sur six de tomber sur 2, etc.

Propriété : la somme de toutes les probabilités est égale à 1. Vous trouverez des exercices là-dessus en page de modèles de probabilité.

Il s'ensuit que la somme de la probabilité d’un évènement et de celle de son évènement contraire est elle aussi égale à 1.

Le programme de troisième se termine par une présentation succincte des arbres des possibles.

Représentation

L'ensemble des issues possibles est appelé univers. Il existe trois façons de le représenter : le tableau, l'arbre et le diagramme de Venn.

Si une expérience est le résultat de deux issues, il est recommandé d’utiliser un tableau à double entrée afin de bien identifier tous les évènements (voir en page d'univers les issues possibles d'un tirage de deux dés). Si l'expérience résulte de trois issues ou plus, un tableau devient trop difficile à lire et faut représenter l'univers des possibles autrement.

Le diagramme de Venn permet de présenter des situations très simples. Il sert surtout à expliquer la théorie des probabilités en classe de seconde et n'est guère utilisé par la suite ! Voir l'exemple ci-dessous.

L'arbre des possibles est l'outil le plus pratique dans la grande majorité des cas (voir page univers).

Union et intersection

Il est nécessaire de connaître deux notions pour travailler dans les situations probabilisées : la réunion (ou l'union) et l'intersection. Il existe deux signes mathématiques pour les formaliser, qui d'ailleurs ne se rencontrent pas que dans les exercices de probabilités ! C'est généralement en étudiant les intervalles que les élèves de seconde se familiarisent avec eux.

L'intersection indique ce qui est à la fois une chose ET une autre. Son signe est \(\cap\) et se prononce « inter ».

L'union indique ce qui peut être soit une chose soit une autre, soit les deux à la fois. Son signe est \(\cup\) et se prononce « union ». Il se traduit donc par OU.

Ces deux notions sont reliées par la formule \(A \cup B\) \(=\) \(A + B - (A \cap B)\)

Si l’on soustrait l’intersection, c’est pour ne pas la compter deux fois (une fois avec \(A\) et une fois avec \(B\)).

En termes de probabilités : \(P(A \cup B)\) \(=\) \(P(A) + P(B) - P(A \cap B).\)

Davantage d'explications et une démonstration en page d'intersections et réunions d'évènements.

Exemple

Au royaume merveilleux des fées et des lutins, des fées ont décidé de pratiquer un sport. Sur 50 fées, 30 choisissent le catch et 25 s’adonnent au bodybuilding (les fées ne sont décidément plus ce qu’elles étaient…), 10 pratiquant les deux activités.

Cet énoncé particulièrement réaliste peut être illustré par un diagramme de Venn ou par un tableau. Ci-dessous, \(C\) signifie « catch » et \(B\) signifie « bodybuilding ». Pour construire le diagramme, on indique d’abord 10 à l’intersection, c’est-à-dire dans le lieu qui est à la fois \(B\) et \(C.\) On en déduit le nombre de catcheuses qui ne pratiquent pas le bodybuilding (20) et le nombre de culturistes qui ne pratiquent pas le catch (15). On compte alors 45 sportives. Par conséquent, il reste 5 fées qui se contentent de pratiquer la magie.

Le diagramme est résumé dans le tableau ci-dessous. \(C\) figure en colonne et \(B\) en ligne. On retrouve les mêmes informations avec, en plus, les totaux.

Raisonnons à présent en termes de probabilités. On prend une fée au hasard.

• Quelle est la probabilité qu’elle pratique le catch ? Notons cette proba \(P(C).\) On a \(P(C) = \frac{30}{50},\) soit 0,6. Quelle est la probabilité de l’évènement « pratique les deux sports » ? C’est l’intersection des deux, qui peut aussi s’exprimer par ET, c'est-à-dire à la fois \(B\) et \(C\). \(P(B \cap C)\) \(=\) \(\frac{10}{50},\) soit 0,2.


• Quelle est la probabilité de l’évènement « pratique un sport » ? Cette fois, c’est \(B\) OU \(C.\) Il y en a \(\frac{45}{50}.\) Donc \(P(B \cup C) = 0,9.\) Ces probabilités se retrouvent facilement, aussi bien avec le diagramme qu’avec le tableau. On peut aussi utiliser la formule suivante :

\(P(B \cup C)\) \(=\) \(P(B) + P(C) - P(B \cap C)\)

Remplaçons les éléments de la formule par les valeurs de l’exemple : \(0,9 = 0,5 + 0,6 - 0,2.\)

Voir l'exercice de seconde sur les probabililtés.