Probabilités conditionnelles paramétrées
Cétait une singularité de l’épreuve du bac en mathématiques : les exercices sur les probabilités conditionnelles n'étaient pas très différents d’une section à l’autre. La page sur les probabilités au bac STMG présente d’ailleurs un entraînement valable pour les sections générales.
Aujourd'hui, c'est en classe de première que l'on étudie les probabilités conditionnelles et les extraits de l'ancien bac S proposés ci-dessous correspondent tout à fait aux exercices qui sont donnés en première.
Exercice 1. Antilles-Guyane, septembre 2017
- Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.
Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10.
Lorsque la journée n’est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10.
La probabilité qu’une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée \(p.\)
Pour une journée donnée, on note :
- \(E\) l’évènement « la journée est ensoleillée » ;
- \(V\) l’évènement « Romane se déplace en vélo ».
- Construire l’arbre pondéré représentant la situation.
- Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d’une journée donnée est \(P(V)\) \(=\) \(0,3p + 0,6.\)
- On constate que dans \(67,5\%\) des cas, c’est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.
a- Calculer la valeur de \(p.\)
b- Sachant que Romane s’est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est \(\frac{1}{3}.\)
Note : ces questions constituaient la partie A d'un exercice dont la suite fait l'objet de la page sur les lois à densité au bac (que l'on n'étudie pas en première).
Exercice 2. Antilles-Guyane, septembre 2015
- Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d’un mois.
- \(40\%\) des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d’orange ;
- \(25\%\) des bouteilles de jus d’orange vendues possèdent l’appellation « pur jus ».
- Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d’orange, la proportion des bouteilles « pur jus » est notée \(x,\) où \(x\) est un réel de l’intervalle \([0\,;1].\)
Par ailleurs, \(20\%\) des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l’appellation « pur jus ».
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :
- \(R\) : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d’orange.
- \(J\) : la bouteille prélevée est une bouteille « pur jus ».
- Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
- Déterminer la valeur exacte de \(x.\)
- Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de « pur jus ». Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d’orange.
Corrigé 1
1- La construction de l’arbre pondéré ne présente aucune difficulté.
2- On détermine la probabilité que Romane se déplace en vélo avec la formule des probabilités totales.
\(P(V)\) \(=\) \(P(E \cap V) + P(\overline{E} \cap V)\) \(=\) \(0,9p + 0,6(1 - p)\) \(=\) \(0,3p + 0,6\)
3- a- Nous savons à présent que \(P(V) = 0,675.\)
\(0,3p + 0,6 = 0,675\)
\(⇔ 0,3p = 0,075\)
\(⇔ p = 0,25\)
b- Nous utilisons la formule des probabilités conditionnelles.
\(P_V(E)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{P(E \cap V)}{P(V)}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{0,9 \times 0,25}{0,675}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{1}{3}}\)
Corrigé 2
1- Arbre pondéré :
2. Nous savons que \(20\%\) des bouteilles passées en caisse sont « pur jus ». Donc \(P(J) = 0,2.\)
Or, d’après la formule des probabilités totales, \(P(J)\) \(=\) \(P(R \cap J) + P(\overline{R} \cap J)\)
D’où \(0,2 = 0,4 × 0,25 + 0,6x\)
\(⇔ 0,1 = 0,6x\)
\(⇔ x = \displaystyle{\frac{1}{6}}\)
3. Nous devons déterminer la probabilité \(P_J (R).\)
Selon la formule des probabilités conditionnelles…
\(P_J(R)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{P(R \cap J)}{P(J)}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{0,1}{0,2}}\) \(=\) \(0,5\)
