L'indépendance

Probabilités d'évènements indépendants

Le concept est simple à comprendre : la connaissance d'un évènement n'apporte aucune information sur l'éventuelle réalisation d'un autre. Il s'agit d'une notion essentielle en statistiques mais nous limiterons le propos au niveau d'une classe de terminale.

Cas d'indépendance

La situation d’indépendance est très courante dans les jeux : lancers successifs de pièces (pile ou face) ou de dés, tirages de cartes AVEC REMISE, etc. En revanche, un tirage du loto ne rentre pas dans ce cadre puisqu'une même boule ne pouvant sortir deux fois, un numéro donné n'a pas la même probabilité d'apparaître au début ou à la fin du tirage.

Autre exemple. Si vous savez combien de secondes durent les différents feux tricolores que vous rencontrez sur votre trajet, vous pouvez établir des probabilités de tomber sur telle couleur. Si ces feux sont synchronisés, vous pouvez même établir un arbre pondéré et ainsi probabiliser toutes les situations que vous risquez de rencontrer. Mais si les feux ne le sont pas, les évènements "couleur du premier feu", "couleur du deuxième feu"... sont indépendants. Dans une telle situation, l'intérêt de construire l’arbre de probabilité est faible car, pour chaque nœud d’un même niveau, vous aurez les mêmes branches affectées des mêmes probabilités.

Définition

La définition de l’indépendance est la suivante :

P(A ∩ B ∩ ... ∩ Z) = P(A) × P(B) × ... P(Z)

Cette formule permet d’ailleurs de retourner la problématique. Lorsqu’on veut savoir si des évènements sont indépendants, on cherche à vérifier cette égalité.

La formule des probabilités conditionnelles devient donc caduque. Que l’évènement A soit ou non réalisé, la probabilité B reste la même. En d'autres termes, les évènements A et B sont indépendants si et seulement si PB(A) = P(A).

Propriété

Si deux évènements A et B sont indépendants, alors l'évènement contraire de A et B sont également indépendants.

Démonstration. A et B sont indépendants : B = (A ∩ B) + (Ā ∩ B).

Donc P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B).

Or, par définition de l’indépendance entre A et B, nous avons P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Par conséquent P(B) = P(A) × P(B) + P(Ā ∩ B)

⇔ P(B) – P(A) × P(B) = P(Ā ∩ B).

Factorisons.

P(B) (1 – P(A)) = P(Ā ∩ B)

⇔ P(B) × P(Ā) = P(Ā ∩ B).

L'évènement contraire de A et l'évènement B sont bien indépendants.

Univers

Les probabilités d'évènements indépendants nécessitent souvent l’utilisation des puissances. La détermination d'un univers des possibles est établi par une p-liste (hors programmes de terminale). Supposons que vous répondiez complètement au hasard à un QCM de dix questions avec chaque fois quatre possibilités dont une seule exacte. Il existera 410 possibilités, c’est-à-dire que vous aurez une chance sur 1 048 576 d’avoir tout juste. C’est le nombre de possibilités qui est élevé à la puissance « nombre de tirages ».

Succession d'épreuves

Lorsque la possibilité est binaire, de type succès ou échec, on se trouve dans le cadre d’un schéma de Bernoulli. Quand plusieurs tirages se succèdent de façon indépendante avec les mêmes probabilités d'occurrence, on utilise la loi binomiale afin de connaître directement le résultat, sans avoir à déterminer l’univers (les puissances sont directement appliquées aux probabilités).

Exemple 1

En guise d’exemple, prenons la dernière question proposée au bac ES de Nouvelle-Calédonie en 2007. Les questions précédentes ont été traitées en page probabilités. On y évoque des pièces dont 40 % ont le défaut A. Pour information, la formule de la loi binomiale n'était pas au programme de terminale ES en 2007. La façon de traiter la question serait différente aujourd'hui.

À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut. On suppose que ces tirages s’effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante. Calculer la probabilité pour que, sur les trois pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut A.

Trois possibilités : (A, A, non A), (A, non A, A) et (non A, A, A). Ce nombre peut être retrouvé soit en calculant la combinaison de deux éléments parmi trois, soit en utilisant le triangle de Pascal (voir page dénombrement), soit en comptant le nombre de branches d'un arbre pondéré, soit en calculant le coefficient binomial. La réponse à la question est 3 × 0,4² × 0,6 = 0,288.

Exemple 2 (Extrait du sujet du bac S Antilles-Guyane, 1995)

Une épreuve consiste à jeter une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées 1, 2, 3. Deux concurrents A et B sont en présence. On admet qu'à chaque lancer, chacun d'eux atteint une case et une seule et que les lancers sont indépendants. Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1, 2, 3 sont dans cet ordre 1 / 12 ; 1 / 3 ; 7 / 12.

Le concurrent A lance la fléchette trois fois. Les résultats des trois lancers sont indépendants.

  • a. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne chaque fois la case 3 ?
  • b. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2, 3 dans cet ordre ?
  • c. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2, 3 ?

Les questions à propos du joueur B portant sur les probabilités conditionnelles, elles ne sont pas traitées ici.

La question a ne réclame pas de calculs très compliqués ! Nommons P(C) cette probabilité.

probas indépendantes

Soit environ une fois sur cinq...

La question b n'est pas difficile non plus. Soit P(D) la probabilité cherchée.

trois tirages

Question c. Contrairement à la question précédente, il n'y a pas d'ordre. Chiffrons le désordre. Ceci revient à trouver le nombre de permutations possible pour aboutir au même résultat que P(D).

On sait qu'il existe 3! permutations possibles avec trois éléments, soit 6. Si l'on nomme P(E) la probabilité cherchée, nous obtenons donc P(E) = 6P(D) = 7 / 12.

Le concurrent a sept chances sur douze d'atteindre les trois cases en trois lancers.

Pour aller plus loin (hors programme de terminale)

En pratique, l'étude des jeux de hasard ne représente qu'une part infinitésimale des problématiques probabilistes. Aussi est-il exceptionnel de détecter une indépendance parfaite dans une recherche concrète. Cette situation est plutôt la preuve que le statisticien a conduit une étude stupide. Ainsi, on admet qu'il y a indépendance entre un couple de variables aléatoires à partir d'un certain seuil. Celui-ci est déterminé par des tests, en particulier par le test du khi².

 

probas indépenantes