Les paraboles

Paraboles dans le plan

Niveau de cette page : premières technologiques.

La fonction carré est l'une des fonctions les plus connues. Sa représentation graphique est une parabole. Mais toutes les fonctions du second degré définies sur l’ensemble des réels ont pour représentation une parabole, plus ou moins évasée.

Une parabole dans le plan se caractérise, entre autres, par un axe de symétrie.

 

Fonctions de type \(x \mapsto a{x^2}\)

Lorsque qu’une fonction se présente sous la forme d’une variable au carré que multiplie une constante \(a,\) son extremum se trouve, graphiquement, sur l’origine.

Ci-dessous, plusieurs paraboles ont été tracées avec GeoGebra. La fonction carré figure en rouge.

La bleue représente la fonction telle que \(x\mapsto -x^2.\) Lorsque le coefficient \(a\) est négatif (ici -1), la parabole est inversée. La fonction n’admet pas de minimum mais un maximum.

La verte représente la fonction telle que \(x \mapsto 2x^2.\) Si \(a \geqslant 1,\) alors la parabole est plus resserrée que la fonction de référence. Au contraire, s’il est compris dans l’intervalle \(]0\, ; 1[\) la parabole est plus évasée (en orange avec \(0,5x^2\)).

paraboles

 

Fonctions de type \(x\mapsto ax^2 + b\)

Si l’on ajoute une constante \(b\) à notre fonction, on observe une translation verticale. La courbe ci-dessous représente la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 + 2.\) L’axe de symétrie reste l’axe des ordonnées.

parabole

 

Fonctions de type \(x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2)\)

Une fonction du second degré peut être présentée sous plusieurs formes. La plus « immédiate » est la forme développée : \(x \mapsto ax^2 + bx + c.\) Mais on peut parfois l’exprimer sous une forme factorisée : \(x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2).\)

\(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de la fonction. Ce sont les abscisses des deux points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses.

Ces points n’existent pas toujours. Par exemple, la courbe précédente ne coupe pas l’axe, tout simplement parce que \(x^2 + 2\) n’est pas factorisable.

Attention, ces racines sont des réels, éventuellement inférieurs à zéro : il n’y a pas obligatoirement de signe négatif entre \(x\) et la racine !

Le coefficient \(a\) a les mêmes propriétés que dans les configurations plus simples. S’il est négatif, la fonction admet un maximum et, graphiquement, il donne à la courbe un aspect resserré ou évasé.

La courbe ci-dessous représente une fonction \(f\) définie par \(f(x) = 2(x - 4)(x + 1).\) Vous remarquez qu’elle admet un minimum (puisque \(a\) est positif) et qu’elle passe par les points de coordonnées \((-1\, ;0)\) et \((4\, ; 0)\), comme on pouvait le deviner.

parabole

 

Exercice

Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = (x - 2)(x + 3).\)

1- Développer l’expression afin de s’assurer qu’il s’agit bien d’une fonction du second degré.
2- En quels points la courbe représentative de \(f\) coupe-t-elle les axes du repère ?
3- \(f\) admet-elle un minimum ou un maximum ? Justifier puis donner l’abscisse de cet extremum.

 

Corrigé

1- \((x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x – 6\) \(= x^2 + x - 6\) et c’est bien une fonction du second degré.

2- La forme factorisée nous indique que les racines sont 2 et -3. Donc la courbe coupe l’axe des abscisses aux points de coordonnées \((-3\, ;0)\) et \((2\, ;0).\)

Elle coupe aussi l’axe des ordonnées. On détermine très vite en quel point grâce à la forme développée. En effet, il est facile de voir que \(f(0) = -6.\) Donc le point d’intersection avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées (\(0\, ;-6).\)

3- Aussi bien la forme développée que la factorisée nous permet de déterminer immédiatement \(a.\) Il est égal à 1, donc positif. Ainsi, \(f\) admet un minimum.

Comment trouver l’abscisse de ce minimum ? N’oubliez pas que la courbe est symétrique, donc il suffit de calculer la moyenne des deux racines pour la connaître. Soit \(\frac{-3+2}{2} = -0,5.\)

Visualisons les résultats de cet exercice à l'aide d'une calculatrice TI-83 :

fenêtre TI

Autre exercice : exercice sur fonction du second degré.

 

ex-oeuf