Calcul d'une matrice inverse 3 × 3
L'inversion d'une matrice carrée rend bien des services, notamment dans le cadre d'une réduction d'endomorphisme. Cette noble activité ne déclenche pas l’enthousiasme dans les amphis… Il faut bien reconnaître que l’opération faite à la main est un peu laborieuse.
Note préalable: si vous êtes en terminale, la page d'initiation à l'inversion de matrice répondra sans doute davantage à vos attentes que cette page-ci.
Matrices inversibles
Reprenons. Toutes les matrices carrées n’ont pas le privilège d’être inversibles. Il leur faut être de plein rang, c’est-à-dire ne pas abriter de combinaisons linéaires ou, ce qui revient au même, d’avoir un déterminant non nul. L’inverse d’une matrice \(M\) est notée \(M^{-1}\) et se définit ainsi : \(MM^{-1} = I\) (c’est-à-dire la matrice identité).
L’inverse de l’inverse est la matrice de départ. Par ailleurs, si la matrice est inversible (ou régulière), on a \(MM^{-1} = M^{-1}M.\) Autre propriété (\(A\) et\(B\) sont des matrices) : \((AB)^{-1} = B^{-1}A{-1}\) et, si \(k\) est un scalaire, \((kM)^{-1} = k^{-1}M^{-1}.\)
Il existe plusieurs façons d’inverser une matrice à la main et il existe davantage de logiciels capables de vous rendre ce petit service.
Exemple
Inversons cette matrice de toute beauté : \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 3&5&0\\ 4&2&6 \end{array}} \right)\)
On pose \(AX = Y\) pour obtenir \(X = A^{-1}Y.\)
\(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)\) et \(Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x'\\ y'\\ z' \end{array}} \right)\)
\(AX = Y \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2y + z = x'}\\ {3x + 5y = y'}\\ {4x + 2y + 6z = z'} \end{array}} \right.\)
Ce système peut être résolu de nombreuses manières. Optons pour le pivot de Gauss.
Oui, c’est long, d’autant que nous n’avons multiplié aucune ligne. Vivement les méthodes avec logiciel…
Ouf ! On a enfin une belle vue sur la matrice inverse :
\[{A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{3}{2}}&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{4}}\\ {\frac{9}{{10}}}&{ - \frac{1}{{10}}}&{ - \frac{3}{{20}}}\\ {\frac{7}{{10}}}&{ - \frac{3}{{10}}}&{\frac{1}{{20}}} \end{array}} \right)\]
Il est également possible de résoudre ce système par l’algorithme de Gauss, par le déterminant, etc.
Quelques outils
Avec Excel et l'add-in Matrix on gagne un temps fou… Il suffit d’entrer les neuf nombres à gauche, puis de sélectionner macros, matrix operations…, Inverse A-1 et d’indiquer les cases à utiliser.
Autre logiciel gratuit, Euler Math Toolbox, téléchargeable ici :
http://eumat.sourceforge.net/download.html
Après la galère de la méthode manuelle, c’est beau et magique comme un coucher de soleil sur le Bosphore ou un Dow Jones à 40 000 points (selon votre sensibilité)…
Pour un emploi de la calculatrice TI-83 et une UTILISATION de l'inversion de matrice, voir la page changement de base. Pour élever une matrice à la puissance -1 avec une Casio Graph 35, voir la page puissance d'une matrice.
Pour une application statistique de la matrice inverse, voir les paramètres de la régression multiple.
