Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Un exemple d'inversion de matrice

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Calcul d'une matrice inverse 3 × 3

L'inversion d'une matrice carrée rend bien des services, notamment dans le cadre d'une réduction d'endomorphisme. Cette noble activité ne déclenche pas l’enthousiasme dans les amphis…  Il faut bien reconnaître que l’opération faite à la main est un peu laborieuse.

Note préalable: si vous êtes lycéen, la page initiation à l'inversion de matrice répondra sans doute davantage à vos attentes que cette page-ci.

Reprenons. Toutes les matrices carrées n’ont pas le privilège d’être inversibles. Il leur faut être de plein rang, c’est-à-dire ne pas abriter de combinaisons linéaires ou, ce qui revient au même, d’avoir un déterminant non nul. L’inverse d’une matrice M est notée M-1 et se définit ainsi : MM-1 = I (c’est-à-dire la matrice identité).

L’inverse de l’inverse est la matrice de départ. Par ailleurs, si la matrice est inversible (ou régulière), on a MM-1 = M-1M. Autre propriété : (AB)-1 = A-1B-1 et, si k est un scalaire, (kM)-1 = k-1M-1.

Il existe plusieurs façons d’inverser une matrice à la main et il existe davantage de logiciels capables de vous rendre ce petit service.

Exemple. Inversons cette matrice de toute beauté :

matrice à inverser

On pose AX = Y pour obtenir X = A-1Y.

vecteurs colonnes

système

Ce système peut être résolu de nombreuses manières. Optons pour le pivot de Gauss.

pivot

Je sais, c’est long, d’autant que je n’ai multiplié aucune ligne. Vivement les méthodes avec logiciel…

pivot (fin)

Ouf ! On a enfin une belle vue sur la matrice inverse :

inversée

Il est également possible de résoudre ce système par l’algorithme de Gauss, par le déterminant, etc.

Logiciels

Sur Excel, avec l’add-in Matrix.

avec matrix

On gagne un temps fou… Il suffit d’entrer les neuf nombres à gauche, puis de sélectionner macros, matrix operations…, Inverse A-1 et d’indiquer les cases à utiliser.

Autre logiciel gratuit, Euler Math Toolbox, téléchargeable ici :

http://eumat.sourceforge.net/download.html

par Euler

Après la galère de la méthode manuelle, c’est beau et magique comme un coucher de soleil sur le Bosphore ou un Dow Jones à 18 000 points (selon votre sensibilité)…

Pour un emploi de la calculatrice TI-82 et une UTILISATION de l'inversion de matrice, voir la page changement de base.

Pour une application STATISTIQUE de la matrice inverse, rendez-vous en page paramètres de la régression multiple.

 

matrice inverse

 

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