Nombres complexes et géométrie
Après avoir découvert les nombres complexes sous leur forme trigonométrique et sous leur forme exponentielle, le plus souvent en terminale générale (maths expertes), on peut s’entraîner à résoudre divers problèmes de géométrie.
Ci-dessous, nous nous situerons dans le cadre du plan complexe muni d’un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow u ,\overrightarrow v ).\)
Propriétés
Soit \(M\) et \(M’\) deux points distincts du plan d’affixes respectives \(z\) et \(z’.\)
\(M\) ayant pour affixe \(z,\) nous avons \(OM\) = \(\| {\overrightarrow {OM} } \|\) \(=\) \(|z|\) et \((\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{OM})\) \(=\) \(\arg(z)\;(2\pi).\)
De même, \(MM'\) = \(\| {\overrightarrow {MM'} } \|\) \(=\) \(|z'-z|\) et \((\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{MM'})\) \(=\) \(\arg(z'-z)\;(2\pi).\)
C'est d’ailleurs assez intuitif !
Vous pouvez creuser ces propriétés en page de distances et angles dans la plan complexe.
Étendons ces propriétés à deux vecteurs \(\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{w'}\) non nuls d’affixes respectives \(z\) et \(z’.\)
\(\|\overrightarrow{w}\| = |z|\) et \((\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{w}) = \arg(z)\;(2\pi)\)
Si vous connaissez les propriétés des arguments, voici qui ne devrait pas vous étonner :
\((\overrightarrow{w}, \overrightarrow{w'}) = \arg(\frac{z'}{z})\;(2\pi)\)
Si \(\frac{z'}{z}\) est un réel, alors les deux vecteurs sont colinéaires. Si ce rapport est un imaginaire pur, ils sont orthogonaux.
Si \(M\) et \(M’\) sont symétriques par rapport à l’axe réel, alors \(z'\) est le conjugué de \(z\) : \(z' = \overline z. \)
Et s’ils sont symétriques par rapport à \(O,\) alors \(z’ = -z.\)
Autres propriétés : soit \(A,\) \(B,\) \(C\) et \(D\) quatre points du plan complexe, distincts deux à deux et soit \(z_A,\) \(z_B,\) \(z_C\) et \(z_D\) leurs affixes respectives.
\(\frac{CD}{AB}\) \(=\) \(\left|\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right|\) et \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{CD})\) \(=\) \(\arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)\;(2\pi)\)
Ainsi :
\(\frac{CB}{CA}\) \(=\) \(\left|\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\right|\) et \((\overrightarrow{CA}\,;\overrightarrow{CB})\) \(=\) \(\arg\left(\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\right)\;(2\pi)\)
Cas particulier : les points \(A,\) \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\arg \left(\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\right) = 0 \; (\pi).\)
Autrement dit, ils sont alignés si et seulement si \(\left(\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\right) \in \mathbb{R}.\)
Ceci est illustré en page de complexes et suites au bac.
On déduit également que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \in \mathbb{R}.\)
Si au contraire ce rapport est un imaginaire pur, alors \((AB)\) et \((CD)\) sont orthogonales.
Appartenances aux axes
Retrouvons notre point \(M\) d’affixe \(z\) dans le plan complexe.
\(M\) appartient à l’axe réel si et seulement si \(z = \overline{z}.\)
Dans ce cas, soit \(z = 0,\) soit \(\arg(z) = 0 \;(π).\)
\(M\) appartient à l’axe imaginaire si et seulement si \(z = -\overline{z}.\)
Dans ce cas, soit \(z = 0,\) soit \(\arg(z) = \frac{π}{2}\;(π).\)
Triangles
Comment démontrer qu’un triangle \(ABC\) du plan complexe est particulier ?
Soit le nombre \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\)
Si c'est un imaginaire pur, alors le triangle est rectangle en \(A\) (puisque les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont orthogonales).
Si ce nombre est égal à \(i\) ou à \(-i,\) alors le triangle est rectangle isocèle en \(A.\) Voir la page sur le triangle dans le plan complexe.
Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, il faut montrer que \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\frac{\pi}{3}}\) ou \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{-i\frac{\pi}{3}}\)
Cercle
Soit \(r\) un réel strictement positif.
Le cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\) est l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z - z_A| = r.\)
\(z = z_A + re^{i\theta},\) avec \(\theta \in \mathbb{R}\)
Voir le cercle dans le plan complexe.
Parallélogramme
Retrouvons nos points distincts \(M\) et \(M'\) d’affixes respectives \(z\) et \(z’.\)
Soit un point \(M''\) ayant pour affixe \(z + z’.\) Alors \(OMM’’M’\) est un parallélogramme. Son centre a pour affixe \(\frac{z + z'}{2}.\)
Médiatrice
La médiatrice de \([AB]\) est l’ensemble des points d’affixe \(z\) tels que :
\(\left| {\frac{{{z_A} - z}}{{{z_B} - z}}} \right| = 1\)