Quelques propriétés géométriques des complexes

Nombres complexes et géométrie

Après avoir découvert les nombres complexes sous leur forme trigonométrique et sous leur forme exponentielle, le plus souvent en terminale générale (maths expertes), on peut s’entraîner à résoudre divers problèmes de géométrie.

Ci-dessous, nous nous situerons dans le cadre du plan complexe muni d’un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow u ,\overrightarrow v ).\)

 

Propriétés

Soit \(M\) et \(M’\) deux points distincts du plan d’affixes respectives \(z\) et \(z’.\)

\(M\) ayant pour affixe \(z,\) nous avons \(OM\) = \(\| {\overrightarrow {OM} } \|\) \(=\) \(|z|\) et \((\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{OM})\) \(=\) \(\arg(z)\;(2\pi).\)

De même, \(MM'\) = \(\| {\overrightarrow {MM'} } \|\) \(=\) \(|z'-z|\) et \((\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{MM'})\) \(=\) \(\arg(z'-z)\;(2\pi).\)

C'est d’ailleurs assez intuitif !

Vous pouvez creuser ces propriétés en page de distances et angles dans la plan complexe.

Étendons ces propriétés à deux vecteurs \(\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{w'}\) non nuls d’affixes respectives \(z\) et \(z’.\)

\(\|\overrightarrow{w}\| = |z|\) et \((\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{w}) = \arg(z)\;(2\pi)\)

Si vous connaissez les propriétés des arguments, voici qui ne devrait pas vous étonner :

\((\overrightarrow{w}, \overrightarrow{w'}) = \arg(\frac{z'}{z})\;(2\pi)\)

Si \(\frac{z'}{z}\) est un réel, alors les deux vecteurs sont colinéaires. Si ce rapport est un imaginaire pur, ils sont orthogonaux.

Si \(M\) et \(M’\) sont symétriques par rapport à l’axe réel, alors \(z'\) est le conjugué de \(z\) : \(z' = \overline z. \)

Et s’ils sont symétriques par rapport à \(O,\) alors \(z’ = -z.\)

Autres propriétés : soit \(A,\) \(B,\) \(C\) et \(D\) quatre points du plan complexe, distincts deux à deux et soit \(z_A,\) \(z_B,\) \(z_C\) et \(z_D\) leurs affixes respectives.

\(\frac{CD}{AB}\) \(=\) \(\left|\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right|\) et \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{CD})\) \(=\) \(\arg\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right)\;(2\pi)\)

Ainsi :

\(\frac{CB}{CA}\) \(=\) \(\left|\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\right|\) et \((\overrightarrow{CA}\,;\overrightarrow{CB})\) \(=\) \(\arg\left(\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\right)\;(2\pi)\)

Cas particulier : les points \(A,\) \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\arg \left(\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\right) = 0 \; (\pi).\)

Autrement dit, ils sont alignés si et seulement si \(\left(\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C}\right) \in \mathbb{R}.\)

Ceci est illustré en page de complexes et suites au bac.

On déduit également que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \in \mathbb{R}.\)

Si au contraire ce rapport est un imaginaire pur, alors \((AB)\) et \((CD)\) sont orthogonales.

 

Appartenances aux axes

Retrouvons notre point \(M\) d’affixe \(z\) dans le plan complexe.

\(M\) appartient à l’axe réel si et seulement si \(z = \overline{z}.\)

Dans ce cas, soit \(z = 0,\) soit \(\arg(z) = 0 \;(π).\)

\(M\) appartient à l’axe imaginaire si et seulement si \(z = -\overline{z}.\)

Dans ce cas, soit \(z = 0,\) soit \(\arg(z) = \frac{π}{2}\;(π).\)

 

Triangles

Comment démontrer qu’un triangle \(ABC\) du plan complexe est particulier ?

Soit le nombre \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\)

Si c'est un imaginaire pur, alors le triangle est rectangle en \(A\) (puisque les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont orthogonales).

Si ce nombre est égal à \(i\) ou à \(-i,\) alors le triangle est rectangle isocèle en \(A.\) Voir la page sur le triangle dans le plan complexe.

Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, il faut montrer que \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\frac{\pi}{3}}\) ou \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{-i\frac{\pi}{3}}\)

triangle

 

Cercle

Soit \(r\) un réel strictement positif.

Le cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\) est l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z - z_A| = r.\)

\(z = z_A + re^{i\theta},\) avec \(\theta \in \mathbb{R}\)

Voir le cercle dans le plan complexe.

 

Parallélogramme

Retrouvons nos points distincts \(M\) et \(M'\) d’affixes respectives \(z\) et \(z’.\)

Soit un point \(M''\) ayant pour affixe \(z + z’.\) Alors \(OMM’’M’\) est un parallélogramme. Son centre a pour affixe \(\frac{z + z'}{2}.\)

 

Médiatrice

La médiatrice de \([AB]\) est l’ensemble des points d’affixe \(z\) tels que :

\(\left| {\frac{{{z_A} - z}}{{{z_B} - z}}} \right| = 1\)