Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Quelques propriétés géométriques des complexes

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Nombres complexes et géométrie

Après avoir découvert les nombres complexes sous leur forme trigonométrique et sous leur forme exponentielle, le plus souvent en terminale S, on peut s’entraîner à résoudre divers problèmes de géométrie.

Ci-dessous, nous nous situerons dans le cadre du plan complexe muni d’un repère orthonormé :

(O ; u ; v)

Propriétés

Soit M et M’ deux points distincts du plan d’affixes respectives z et z’.

M ayant pour affixe z, nous avons :

OM

De même :

MM'

C'est d’ailleurs assez intuitif !

Étendons ces propriétés à deux vecteurs w et w’ non nuls d’affixes respectives z et z’.

w

Si vous connaissez les propriétés des arguments, voici qui ne devrait pas vous étonner :

ww'

Si (z’/z) est un réel, alors les deux vecteurs sont colinéaires. Si ce rapport est un imaginaire pur, les vecteurs sont orthogonaux.

Si M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe réel, alors z' est le conjugué de z :

z' = conjugué de z

… Et s’ils sont symétriques par rapport à O, alors z’ = -z.

Autres propriétés : soit A, B, C et D quatre points du plan complexe, distincts deux à deux et soit zA, zB, zC et zD leurs affixes respectives.

CD/AB

Ainsi :

CB/CA

Cas particulier : les points A, B et C sont alignés si et seulement si :

argument = 0

Autrement dit, ils sont alignés si et seulement si :

(zB-zC)/(zA-zC) appartient à R

Ceci est illustré en page complexes et suites au bac S.

On déduit également que les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si :

(zB-zC)/(zA-zC) appartient à R

Si au contraire ce rapport est un imaginaire pur, alors (AB) et (CD) sont orthogonales.

Appartenances aux axes

Retrouvons notre point M d’affixe z dans le plan complexe.

M appartient à l’axe réel si et seulement si :

z = conjugué

Dans ce cas, soit z = 0, soit arg(z) = 0 (π).

M appartient à l’axe imaginaire si et seulement si :

opposé du congugué

Dans ce cas, soit z = 0, soit arg(z) = π / 2 (π).

Triangles

Comment démontrer qu’un triangle ABC du plan complexe est particulier ?

Soit le nombre suivant :

(zC-zA)/(zB-zA)

Si ce nombre est un imaginaire pur, alors le triangle est rectangle en A (puisque les droites (AB) et (AC) sont orthogonales).

Si ce nombre est égal à i ou à -i, alors le triangle est rectangle isocèle en A.

Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, il faut montrer que :

pour triangle équilatéral

Cercle

Soit r un réel strictement positif.

Le cercle de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z – zA| = r.

pour cercle

Parallélogramme

Retrouvons nos points distincts M et M’ d’affixes respectives z et z’.

Soit un point M’’ ayant pour affixe z + z’. Alors OMM’’M’ est un parallélogramme. Son centre a pour affixe (z + z’/ 2.

Médiatrice

La médiatrice de [AB] est l’ensemble des points d’affixe z tels que :

médiatrice

 

 

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