Les triangles dans le plan complexe

En terminale S sont étudiées des représentations géométriques dans le plan complexe. Par exemple des triangles. Et parfois, paf ! Ça tombe au bac. C’est ce qui arriva un beau jour de printemps à Pondichéry en 2017. Remémorons-nous les évènements…

Énoncé

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O ; u ; v).

1- On considère l’équation (E) : z² – 6z + c = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.

A. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.

B. Justifier que les solutions de (E) sont

2- On note A et B les points d’affixes respectives zA et zB.

Justifier que le triangle est isocèle en O.

3- Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.

Corrigé détaillé

1- A. Cette première question ne pose aucune difficulté. Il suffit de montrer que le discriminant est strictement négatif.

Donc Δ = 36 – 4c.

Comme c > 9, il s'ensuit que Δ < 0. Les solutions de l’équation ne sont donc pas réelles.

B. Rappel : un discriminant négatif signifie que l’équation az² + bz + c = 0 admet deux solutions complexes conjuguées dans l'ensemble des complexes :

En l’occurrence, on obtient…

Nommons ces racines (et modifions les écritures par la même occasion)…

En simplifiant les fractions par 2, on obtient bien les solutions indiquées dans l’énoncé.

2- zB est le conjugué de zA. Donc ces deux affixes ont le même module. Ainsi OA = OB donc le triangle AOB est isocèle en O.

3- Enfin une question qui réclame un peu de réflexion (oui, jusque-là c’était quand même facile !)

Par propriété, un triangle isocèle en O ne peut être rectangle qu’en O. Pour cela, il faut que :

Étudions ces deux possibilités.

Cette solution suffit pour répondre à l’énoncé mais si jamais vous aviez commencé par l’autre équation, la voici :

(N’oublions pas que (-i)² = -1)

C’est impossible.

En tout état de cause, nous avons déterminé une valeur réelle de c pour que le triangle AOB soit rectangle et c'est 18.

Non demandé dans l’énoncé : nous avons zA = 3 + 3i et zB = 3 – 3i

Illustration graphique (GeoGebra, retouché avec Illustrator)

 

Note : un triangle peut aussi vous prévenir que le plan est complexe...