Exercice de définition d'un triangle dans le plan complexe
En terminale sont étudiées des représentations géométriques dans le plan complexe. Par exemple des triangles. Et parfois, paf ! Ça tombe au bac. C’est ce qui arriva un beau jour de printemps à Pondichéry en 2017. Remémorons-nous les évènements…
Énoncé
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O ; u ; v).
1- On considère l’équation (E) : z² – 6z + c = 0 où c est un réel strictement supérieur à 9.
A. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
B. Justifier que les solutions de (E) sont
2- On note A et B les points d’affixes respectives zA et zB.
Justifier que le triangle est isocèle en O.
3- Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.
Corrigé détaillé
1- A. Cette première question ne pose aucune difficulté. Il suffit de montrer que le discriminant est strictement négatif.
Donc Δ = 36 – 4c.
Comme c > 9, il s'ensuit que Δ < 0. Les solutions de l’équation ne sont donc pas réelles.
B. Rappel : un discriminant négatif signifie que l’équation az² + bz + c = 0 admet deux solutions complexes conjuguées dans l'ensemble des complexes :
En l’occurrence, on obtient…
Nommons ces racines (et modifions les écritures par la même occasion)…
En simplifiant les quotients par 2, on obtient bien les solutions indiquées dans l’énoncé.
2- zB est le conjugué de zA. Donc ces deux affixes ont le même module. Ainsi OA = OB donc le triangle AOB est isocèle en O.
3- Enfin une question qui réclame un peu de réflexion (oui, jusque-là c’était quand même facile !)
Par propriété, un triangle isocèle en O ne peut être rectangle qu’en O. Pour cela, il faut que :
Étudions ces deux possibilités.
Cette solution suffit pour répondre à l’énoncé mais si jamais vous aviez commencé par l’autre équation, la voici :
(N’oublions pas que (-i)² = -1)
C’est impossible.
En tout état de cause, nous avons déterminé une valeur réelle de c pour que le triangle AOB soit rectangle et c'est 18.
Non demandé dans l’énoncé : nous avons zA = 3 + 3i et zB = 3 – 3i
Illustration graphique (GeoGebra, retouché avec Illustrator)
Note : un triangle peut aussi vous prévenir que le plan est complexe :
