Transformations simples du plan
Voici un récapitulatif de quelques transformations simples de figures dans le plan. En l’occurrence celles qui sont enseignées au collège. Leur connaissance permet d’aborder facilement des notions qui ne sont vues qu’au lycée (parité des fonctions, vecteurs…).
Ci-dessous, un dessin de cèpes fera office de figure à transformer. C’est le logiciel Illustrator d'Adobe qui a permis leur réalisation et celle de leurs transformations.
La symétrie axiale
Cette transformation est enseignée dès la classe de sixième.
Deux figures, tracées sur une feuille de papier, sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent lorsqu’on plie la feuille en la suivant.
Une figure est un ensemble de points. On peut donc définir la symétrie axiale différemment : soit \(M\) un point du plan qui n’appartient pas à la droite \((d).\) Le symétrique de \(M\) par rapport à \((d)\) est le point \(M'\) tel que \((d)\) est la médiatrice du segment \([MM'].\) \((d)\) est appelée axe de symétrie. Si \(M\) appartient à \((d),\) son symétrique est lui-même.
Propriétés : les distances, les angles (mesurés en degrés, donc non orientés), les alignements de points et les aires sont conservés.
La symétrie centrale
Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles se superposent lorsqu’on effectue un demi-tour autour de ce point.
Soit \(O\) le centre de symétrie. Le symétrique d’un point \(M\) est un point \(M'\) tel que \(O\) est le milieu du segment \([MM'].\) \(O\) est son propre symétrique.
Propriétés : les distances, les angles (non orientés), les alignements de points et les aires sont conservés. Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles. Le symétrique d’un segment \([AB]\) par rapport à un point \(O\) est un segment \([CD]\) de même longueur et parallèle à \([AB].\) Ainsi \(ABDC\) est un parallélogramme de centre \(O.\)
La translation
C’est la transformation la plus simple à réaliser sur ordinateur puisque c’est juste un copier-coller.
La translation d’une figure est son glissement, sans déformation ni rotation. Une translation est définie par un sens, une direction et une longueur. On la schématise par des flèches. Voir la page d’initiation aux vecteurs.
Propriétés : les distances, les angles, les alignements de points et les aires sont conservés.
Une frise est un motif reproduit plusieurs fois par translation dans une seule direction.
Un pavage est un motif reproduit plusieurs fois dans deux directions par des translations. Il recouvre le plan sans superposition ni trou.
La rotation
La rotation d’une figure est son basculement par rapport à un point. Elle est définie par un centre, un angle et un sens (horaire ou antihoraire).
Propriétés : les distances, les angles, les alignements de points et les aires sont conservés. Une rotation d'angle plat (180°) est une symétrie centrale.
Une rosace est constituée d’un motif reproduit plusieurs fois par rotation.
L’homothétie
Soit \(O\) un point du plan et \(k\) un nombre réel non nul. On appelle homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) la transformation qui à tout point \(M\) de la figure associe un point \(M'\) tel que \(O,\) \(M\) et \(M'\) sont sur une même droite. La distance de \(O\) à \(M'\) est égale à \(k\) fois la distance de \(O\) à \(M\) si \(k > 0\) ou \(-k\) fois si \(k < 0.\)
Il s’ensuit que l’homothétie se traduit par une réduction si \(0 < k < 1\) et par un agrandissement si \(k > 1.\) Si \(k < 0,\) la figure est inversée. Si \(k = -1,\) il s’agit d’une symétrie centrale.
Propriétés : les angles et les alignements de points sont conservés. Si \(k > 0,\) les longueurs sont multipliées par \(k\) et les aires par \(k^2.\)
Note : une isométrie est une transformation qui conserve les mesures (symétrie, translation et rotation).
