Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Un exercice de suite dans l'ensemble des complexes

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Complexes et suites au bac S

En mathématiques, les sujets du bac S synthétisent toujours des notions étudiées dans différents chapitres. Ils sont à l’image d’un programme dont l’une des richesses est de faire entrevoir l’unité d’un domaine multiforme. L’exercice qui suit permet d’étudier une suite dans l’ensemble des nombres complexes.

Bac S Liban 2016

On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :

suite (zn)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn.

On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA.

1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par un = zn – zA.

a) Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1 = ½ i × un.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :

à démontrer

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.

Corrigé expliqué

1. Nous avons pour tout entier naturel n un+1 = zn+1 – zA. Donc :

un+1

un+1

Que faire ensuite ? L’idée est de faire apparaître un, donc (zn – zA). Mais comment ? Nous avons déjà zn mais il est multiplié par 0,5i. Or, si nous factorisons toute l’expression par 0,5i, zn sera isolé. Essayons, pour voir…

factorisation

Fort bien. En l'état, ce dénominateur ne nous mènera nulle part. Mais une simple multiplication par 2 peut s'avérer très utile.

multiplication par 2

Il faut faire apparaître zA, donc 4 + 2i. Si vous avez l’œil, vous remarquez qu’il suffit de multiplier le numérateur par i pour y parvenir…

étape suivante

étape suivante

étape

un+1=0,5i(zn-zA)

Victoire ! un+1 = ½ iun.

b) Comme nous connaissons une expression de un+1, nous nous orientons naturellement vers un raisonnement par récurrence.

Soit la propriété P(n) :

P(n)

Initialisation : u0 = z0 – zA

Comme z0 = 0, alors u0 = -4 – 2i

Par ailleurs :

u0

N’importe quel nombre à la puissance 0 étant égal à 1, nous vérifions bien l’égalité. La propriété est initialisée.

Supposons que P(n) est vraie. Au rang n+1 nous avons :

rang n+1

n+1

L’hérédité est démontrée. La propriété est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang n elle l’est aussi au rang n+1.

2) Pour montrer l’alignement de trois points dans un plan, y compris dans le plan complexe, on vérifie la colinéarité de deux vecteurs.

On sait que le vecteur AMn a pour affixe zn – zA = un et que le vecteur AMn+4 a pour affixe zn+4 – zA = un+4

Nous devons montrer que (Cf. page complexes et géométrie) :

(zn+4-zA)/(zn-zA) réel

Pour cela, il faut montrer que un+4 / un est un réel.

un+4/un

Comme  = -1, i4 = (-1) × (-1) = 1 et nous obtenons :

1/16

Les deux vecteurs sont bien colinéaires :

colinéaires

Donc les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés