Un exercice de suite dans l'ensemble des complexes

Complexes et suites au bac

En mathématiques, les sujets du bac synthétisent toujours des notions étudiées dans différents chapitres. Ils sont à l’image d’un programme dont l’une des richesses est de faire entrevoir l’unité d’un domaine multiforme. L’exercice qui suit permet d’étudier une suite dans l’ensemble des nombres complexes.

 

Bac S Liban 2016

    On considère la suite \((z_n)\) de nombres complexes définie pour tout entier naturel \(n\) par :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{z_0} = 0}\\
    {{z_{n + 1}} = \frac{1}{2}i \times {z_n} + 5}
    \end{array}} \right.\)
    Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note \(M_n\) le point d’affixe \(z_n.\)
    On considère le nombre complexe \(z_A = 4 + 2i\) et \(A\) le point du plan d’affixe \(z_A.\)
    1. Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = z_n - z_A.\)
    a) Montrer que, pour tout entier naturel \(n,\) \(u_{n+1} = \frac{1}{2} i × u_n.\)
    b) Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) :
    \(u_n = \left(\frac{1}{2}i\right)^n (-4 - 2i)\)
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n,\) les points \(A,\) \(M_n\) et \(M_{n+4}\) sont alignés.

élève

 

Corrigé expliqué

1. Pour tout entier naturel \(n\) nous avons \(u_{n+1} = z_{n+1} - z_A.\) Donc :

\(u_{n+1} = \frac{1}{2} i \times z_n + 5 - (4 + 2i)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1} = \frac{1}{2} i \times z_n + 1 - 2i\)

Que faire ensuite ? L’idée est de faire apparaître \(u_n,\) donc \((z_n - z_A).\) Mais comment ? Nous avons déjà \(z_n\) mais il est multiplié par \(0,5i.\) Or, si nous factorisons toute l’expression par \(0,5i,\) alors \(z_n\) sera isolé. Essayons, pour voir…

\(u_{n+1} = \frac{1}{2}i\left(z_n + \frac{1 - 2i}{0,5i}\right)\)

Fort bien. En l'état, ce dénominateur ne nous mènera nulle part. Mais une simple multiplication par 2 peut s'avérer très utile.

\(u_{n+1} = \frac{1}{2}i \left(z_n + \frac{2 - 4i}{i}\right)\)

Il faut faire apparaître \(z_A,\) donc \(4 + 2i.\) Si vous avez l’œil, vous remarquez qu’il suffit de multiplier le numérateur par \(i\) pour y parvenir…

\(u_{n+1} = \frac{1}{2}i \left(z_n + \frac{i(2 - 4i)}{i^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1} = \frac{1}{2}i \left(z_n + \frac{2i + 4)}{-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1} = \frac{1}{2}i \left(z_n + (2i + 4)\right)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1} = \frac{1}{2}i (z_n - z_A)\)

Victoire ! \(u_{n+1} = \frac{1}{2} iu_n.\)

b) Comme nous connaissons une expression de \(u_{n+1},\) nous nous orientons naturellement vers un raisonnement par récurrence.

Soit la propriété \(P(n)\) :

\(u_n = \left(\frac{1}{2}i\right)^n (-4 - 2i)\)

Initialisation : \(u_0 = z_0 - z_A\)

Comme \(z_0 = 0,\) alors \(u_0 = -4 -2i\)

Par ailleurs :

\(u_0 = \left(\frac{1}{2} i \right)^0 (-4 - 2i)\)

N’importe quel nombre à la puissance 0 étant égal à 1, nous vérifions bien l’égalité. La propriété est initialisée.

Supposons que \(P(n)\) est vraie. Au rang \(n+1\) nous avons :

\(u_{n+1} = \frac{1}{2}iu_n = \frac{1}{2}i\left(\frac{1}{2}i\right)^n(-4 - 2i)\)

\(u_{n+1} = \left(\frac{1}{2} i \right)^{n+1} (-4 - 2i)\)

L’hérédité est démontrée. La propriété est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang \(n\) elle l’est aussi au rang \(n+1.\)

2) Pour montrer l’alignement de trois points dans un plan, y compris dans le plan complexe, on vérifie la colinéarité de deux vecteurs.

On sait que le vecteur \(\overrightarrow {A{M_n}} \) a pour affixe \(z_n - z_A = u_n\) et que le vecteur \(\overrightarrow {AM_{n+4}}\) a pour affixe \(z_{n+4} - z_A = u_{n + 4}.\)

Nous devons montrer que (voir la page complexes et géométrie) \(\left(\frac{z_{n+4} - z_A}{z_n - z_A}\right) \in \mathbb{R}.\)

Pour cela, il faut montrer que \(\frac{u_{n+4}}{u_n}\) est un réel.

\[\frac{u_{n+4}}{u_n} = \frac{\left(\frac{1}{2}i\right)^{n+4} (-4 - 2i)}{\left(\frac{1}{2}i\right)^{n} (-4 - 2i)}\]

Donc \(\frac{u_{n+4}}{u_n} = \left(\frac{1}{2}i\right)^4\)

Comme \(i^2 = -1,\) \(i^4 = (-1) × (-1) = 1\) et nous obtenons :

\(\frac{u_{n+4}}{u_n} = \frac{1}{16}\)

Les deux vecteurs sont bien colinéaires :

\(\overrightarrow {A{M_{n + 4}}} = \frac{1}{{16}}\overrightarrow {A{M_n}} \)

Donc les points \(A,\) \(M_n\) et \(M_{n+4}\) sont alignés.