Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Intégrales impropres résolues par parties

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Exemples d'intégration par parties sur intégrales impropres

Voici une page d’exercices d’application de l’intégration par parties aux intégrales généralisées (ou impropres), en l’occurrence celles qui sévissent sur un intervalle infini…

Exercice 1 : la loi exponentielle

Il s’agit de trouver l’espérance de la loi exponentielle dont la fonction de densité est :

fonction de densité de la loi exponentielle

Rappelons la formule de l’espérance.

espérance

Donc nous cherchons la limite suivante :

à intégrer

Nous sommes en présence d’une structure multiplicative qui ne serait pas simple à intégrer directement. Sortons de notre grimoire la formule de l’intégration par parties :

intégration par parties

Il est généralement plus simple de considérer une exponentielle comme « v’ » plutôt que « u ». Il s’ensuit…

développement

Ceci nous amène à une expression un peu longue…

développement

On a les limites suivantes :

limite 1

limite 2

Par produit, la limite de ces deux termes est nulle (croissances comparées). Donc, par somme, on obtient une espérance de 1 / λ.

Mission accomplie.

Exercice 2 : compliquons

Résoudre cette intégrale de toute beauté :

2ème exemple

Comment faire apparaître une multiplication pour pouvoir intégrer par parties ? Il faut considérer que l’expression est multipliée par 1, qui est la dérivée de x. D’où ce grand principe des maths en général et de l’intégration par parties en particulier, celui de compliquer les choses pour finalement les rendre plus simples. Sachant que la dérivée du logarithme de u est u’ / u, nous avons :

intégration par parties

Occupons-nous d’abord du premier terme. Il est évident qu’en zéro, l’expression ne vaut rien (je veux dire : elle est égale à zéro). Mais la limite à l’infini nous laisse perplexe puisque nous sommes en présence d’une forme indéterminée (0 × ∞).

Nous passerons par les fonctions équivalentes. Il est de notoriété publique qu’en zéro, ln (1 + x) est équivalent à x. Par conséquent, au voisinage de +∞, on a :

équivalence pour le 1er terme

Or, la limite à l’infini de la fonction inverse est 0. Donc, à quoi est égal le premier terme ? 0 – 0 = 0. Passons à l’intégrale. Mais d’abord, simplifions cette expression particulièrement horrible.

simplification

Voilà. Nous cherchons maintenant à résoudre quelque chose de beaucoup plus civilisé.

intégrale simplifiée

Or, 1 / ( + 1) n’est autre que la dérivée de la fonction arc-tangente.

La limite de cette fonction en +∞ est égale à π / 2 et arctan 0 = 0. Donc :

résultat = pi

On ne s’attendait pas forcément à résumer ces expressions compliquées de façon aussi concise…

 

intégrations...

 

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