Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La fonction cube

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Introduction à la fonction cube

Internautes prioritairement concernés par cette page : élèves de première ES n’ayant pas encore abordé le chapitre sur la dérivation.

La fonction cube est définie sur l’ensemble des réels par f(x) = . C’est donc une fonction de puissance entière. Comme cette puissance est impaire, le signe de x et de son image par f sont les mêmes. Du coup, la fonction cube est moins embêtante que la fonction carré.

Elle est strictement croissante sur R. Le tableau de variation est donc particulièrement simple :

tableau de variation

La courbe représentative est tracée ci-dessous avec SineQuaNon :

fonction cube

La résolution d’une équation contenant fait intervenir la racine cubique. Avec une calculatrice TI-82, elle s’obtient par la touche Math puis par le choix n°4 mais on peut aussi utiliser la puissance (⅓).

Exemple :  = -27 ⇔ x = -3

Bien souvent, le résultat n’est pas un entier et il faut chercher une valeur approchée avec la calculatrice. Les enseignants préconisent alors la technique du balayage. Pour ma part, j’en utilise une autre. Soit par exemple l’équation x³ = 7. Je considère deux fonctions à entrer dans la calculatrice : Y = X^3 et Y = 7 puis touche Trace. Il apparaît alors la courbe et une droite horizontale qui se croisent. Puis Calc (c’est-à-dire les touches 2nd et Trace). Choix n°5 (intersection). Tapez quatre fois sur Entrée. Il apparaît alors au bas de l’écran X = 1,9129312 (la solution) et Y = 7 (comme il se doit).

Une fois la fonction cube bien maîtrisée, vous aurez à utiliser des fonctions polynomiales de degré 3, soit f(x) = ax3 + bx² + cx + d. Vous les rencontrerez souvent (mais pas au bac) parce qu’elles modélisent des fonctions de coût total et c’est donc une application mathématique assez habituelle en filière ES. Les valeurs de x sont alors des quantités (forcément positives) tandis que f(x) est exprimée en valeur monétaire.

Exemple

Une usine produit, grâce à un ordinateur surpuissant, des tonnes d’exercices de maths. La production mensuelle s’étale entre 0 et 8 tonnes.

La fonction de coût total exprimée en milliers d’euros pour x tonnes produites est la suivante :

C(x) =  – 9 + 28x + 5

1- La constante a-t-elle une signification économique ?

2- Vérifier que C(x) = (x – 3)³ + x + 32 et en déduire que C est strictement croissante sur [0 ; 8].

3- Un coût moyen est un coût total divisé par la quantité. Donner une expression du coût moyen de production CM(x) = C(x) / x

4- Déterminer le coût total et le coût moyen lorsque la production mensuelle est de trois tonnes.

5- Trouver grâce à la calculatrice pour quelle production le coût moyen est minimum.

6- Tracer la courbe.

Éléments de correction

1- C(0) = 5. En d’autres termes, si l’on ne produit rien, le coût s’élève tout de même à 5. Il s’agit donc des coûts fixes (5 000 €).

2- Il vaut mieux partir de cette seconde expression pour arriver à la forme développée plutôt que l’inverse ! Le développement direct d’une expression au cube n’est pas au programme de première ES. Par conséquent, il faut faire apparaître l’expression au carré puis développer l’identité remarquable et développer une seconde fois :

(x – 3)³ + x + 32
= (x – 3)²(x – 3) + x + 32
= ( – 6x + 9)(x – 3) + x + 32
– 3 – 6 + 18x + 9x – 27 + x + 32
 – 9 + 28x + 5

3- CM(x) =  – 9x + 28 + (5 / x)

Cette seconde écriture se compose de la somme d’une fonction cube (croissante) et d’une fonction affine croissante. C est donc croissante.

4- C(3) = 35 et CM(3) = 11,6667. Le coût total pour une production de trois tonnes est de 35 000 € et le coût unitaire (donc d’une seule tonne) est de 11 667 € (on peut toujours calculer CM(3)… mais il est plus simple de diviser 35 par 3).

5- Pour répondre à cette question, on peut tâtonner mais on peut aussi utiliser la fonction « minimum ». Toujours sur la TI-82, entrez l’expression de la fonction CM. Là aussi, on utilise la fonction Calc mais on opte pour le choix n°3 (minimum). Le programme nous demande la borne inférieure (0) puis la borne supérieure (8). Entrée deux fois. Il apparaît que le minimum est de 4,617 (soit 4 617 kg) pour un coût moyen de 8,847 (8 847 €).

6- La courbe permet de visualiser l’évolution du coût total selon la quantité produite : au fur et à mesure que la production s’accroît, le coût augmente d’abord rapidement, puis montre une sorte de palier avant d’augmenter à nouveau de façon spectaculaire. Ce schéma très classique est parfaitement modélisable par une fonction polynomiale du troisième degré (réalisation Geogebra).

fonction cube

 

cubes

 

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