Des exercices sur les nombres dérivés

Exercices avec taux de variation

En classe de première générale, on débute le chapitre sur la dérivation par la notion de nombre dérivé. Puis on étudie celle de tangente et la fonction dérivée peut venir ensuite. Or, si vous vous rendez en page de tangente, vous y trouverez un savoir-faire basé sur la dérivation de fonction. Vous risquez donc d’être perdu si, en classe, vous n’apprenez pas les choses dans cet ordre.

Cette page vous propose deux exercices plutôt difficiles sur les nombres dérivés et la détermination de tangentes (sans qu’il soit nécessaire de savoir dériver une fonction). D’accord, c’est plus long et vous risquez d’oublier cette technique peu pratique mais il faut passer par là pour bien .

L’exercice de démonstration est exigible au programme.

Rappel : le nombre dérivé en \(a\) de la fonction \(f\) s’obtient ainsi :

\[f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\]

 

Échauffement

Soit \(f\) la fonction carré. Déterminer \(f’(2).\)

Corrigé

\(\frac{(2 + h)^2 - 2^2}{h}\)
\(= \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h}\)
\(=\frac{h(4 + h)}{h} = 4 + h\)

\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}{4 + h} = 4\)

Par conséquent, \(f’(2) = 4\)

 

Exercice

Préciser si la fonction \(f : x ↦ \sqrt{x^2 - 4}\) est dérivable en 3 et donner la valeur de \(f(3)\) avec la technique du taux de variation.

Corrigé expliqué

\(f\) est dérivable si \(x^2  - 4 > 0\) donc sur \(]- ∞\, ; -2[ ∪ ]2\, ;+∞[.\) Ainsi elle est dérivable en 3.

\(\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}\)
\(= \frac{\sqrt{(3 + h)^2-4} - \sqrt{9 - 4}}{h}\)

Utilisons les quantités conjuguées.

\(= \frac{(\sqrt{(3+h)^2 - 4}-\sqrt{5})(\sqrt{(3+h)^2 - 4}+\sqrt{5})}{h(\sqrt{(3+h)^2 - 4}+\sqrt{5})}\)
\(= \frac{(3+h)^2 - 4 - 5}{ h(\sqrt{(3+h)^2 - 4}+\sqrt{5})}\)

Développons l’identité remarquable du numérateur.

\(=\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{ h(\sqrt{(3+h)^2-4}+\sqrt{5})}\)
\(=\frac{6 + h}{ \sqrt{(3+h)^2-4}+\sqrt{5}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{6 + h}{ \sqrt{(3+h)^2-4}+\sqrt{5}}\) \(=\) \(\frac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{5}}\) \(=\) \(\frac{6}{2\sqrt{5}}\) \(=\) \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)

 

Démonstration

Démontrer la formule de l’équation de la tangente en un point de la courbe représentative.

Corrigé expliqué

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle contenant le réel \(a.\)

L’équation de la tangente à la courbe représentative de\(f\) au point d’abscisse \(a\) est :

\(y = f(a) + f’(a)(x - a)\)

Par définition, la tangente est une droite dont le coefficient directeur est \(f’(a).\) Son équation réduite est donc du type \(y = f’(a)x + b.\)

On sait en outre que pour \(x = a\) il y a un point de contact entre la tangente et la courbe, donc \(f(a) = f’(a)a + b\) et alors \(b = f(a) - f’(a)a.\)

Par conséquent \(y = f’(a)x + f(a) - f’(a)a\)

Factorisons par \(f’(a)\) pour obtenir \(y = f(a) + f’(a)(x - a)\) et le tour est joué.

 

Exercice

Soit la fonction \(f : x↦ \frac{1}{x^3}\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\)

Déterminer l’équation de sa tangente en \(a = -1.\)

Corrigé expliqué

Commençons par le plus long, c’est-à-dire la détermination de \(f’(-1)\) grâce au taux de variation.

\[\frac{\frac{1}{(-1 + h)^3} - \frac{1}{-1}}{h}\]

Comme l’identité remarquable au cube n’est pas au programme, nous devons ruser ainsi :

\(= \frac{\frac{1}{(-1 + h)^2(-1 + h)} + 1}{h}\)
\(= \frac{\frac{1}{(-1 -2h + h^2)(-1 + h)} + 1}{h}\)
\(= \frac{\frac{1}{-1 + h + 2h - 2h^2 - h^2 + h^3} + 1}{h}\)
\(= \frac{\frac{1 + h^3 - 3h^2 + 3h - 1}{h^3 - 3h^2 + 3h - 1}}{h}\)
\(= \frac{h(h^2 - 3h + 3)}{h(h^3 - 3h^2 + 3h - 1)}\)

\[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{h^2} - 3h + 3}}{{{h^3} - 3{h^2} + 3h - 1}} =  - 3\]

Donc \(f’(-1) = -3\)

Par ailleurs, \(f(-1) = -1.\)

Donc l’équation de la tangente est \(y = -1 - 3(x +1)\) soit \(y = -3x - 4\)

Geogebra nous permet de visualiser la courbe et la tangente en -1 :