Deux exercices sur les tangentes

Entraînements complémentaires sur tangentes

Nous vous proposons d’abord un exercice de niveau première générale, plutôt difficile (le genre d’exercice qui n’est pas donné dans tous les lycées). En effet, il peut être vite réalisé en classe de terminale une fois connue la convexité mais l’outil de la dérivée seconde est encore inconnu en première. Après tout, la quasi-totalité des magnifiques monuments visibles sur notre planète ont été construits sans logiciel d’architecture alors contentons-nous des moyens en notre possession, c’est-à-dire la formule de la tangente et celle de la dérivée d’une fonction du second degré.

palais japonais
Ensuite, un exercice bonus.

 

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4.\)

Montrer que toutes les tangentes à la courbe représentative de cette fonction se situent au-dessous d’elle.

 

Corrigé commenté

Il faut se méfier des énoncés très courts. Leur brièveté implique que vous devez chercher vous-même par quelles étapes semées d’embûches vous parviendrez à vos fins.

Le plan d’attaque : d’abord nous devons déterminer l’équation de la tangente en un point d’abscisse \(a.\) Si la tangente est au-dessous de la courbe, la différence entre \(f(x)\) et l’expression de la tangente doit être positive. C’est donc cela que nous devons montrer.

Pour établir l’équation de la tangente, nous avons besoin de la dérivée.

\(f’(x) = 4x - 3\)

Le nombre dérivé qui nous intéresse est \(f’(a),\) ainsi \(f’(a) = 4a - 3.\)

Nous avons aussi besoin de \(f(a).\) Tout simplement, \(f(a) = 2a^2 - 3a + 4.\)

Rappelons l’équation de la tangente en \(a.\)

\(y = f(a) + f’(a)(x - a).\)

Remplaçons.

\(y = 2a^2 - 3a + 4 + (4a - 3)(x - a)\)

L’expression est un peu alambiquée. Simplifions.

Pour cela, développons.

\(y = 2a^2 - 3a + 4 + 4ax - 4a^2 - 3x + 3a\)

Réduisons.

\(y = -2a^2 + 4 - 3x + 4ax\)

Trouvons à présent l’expression de l’écart entre fonction et tangente.

\(2x^2 - 3x + 4 - (-2a^2 + 4 - 3x + 4ax)\)
\(⇔ 2x^2 - 3x + 4 + 2a^2 - 4 + 3x - 4ax\)
\(⇔ 2x^2 - 4ax + 2a^2\)

Ce polynôme représente donc l’écart entre fonction et tangente. Est-il bien positif ? L’étude de son signe passe par la détermination de son discriminant.

Nous l’avons exprimé sous forme \(ax^2 + bx + c\) et le discriminant est égal à \(Δ = b^2 - 4ac.\) En l’occurrence, \(Δ = (-4a)^2 - 4 × 2 × 2a^2\)

Donc \(Δ = 16a^2 - 16a^2 = 0\)

Le discriminante est nul. Le polynôme est donc du signe de \(a,\) donc positif, sauf pour une valeur (la racine unique) où il est nul.

Il est évident que l’écart est nul au point de tangence (par définition). Mais partout ailleurs, cet écart est positif et donc la courbe se situe au-dessus de la tangente.

 

Exercice bonus

Afin de vous récompenser pour votre bonne volonté à résoudre l’exercice précédent, nous vous offrons un exercice supplémentaire.

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\) par \(f(x) = \frac{4}{x}.\)

Soit la droite \((d)\) définie par \(y = -\frac{1}{4}x + 4.\)

Déterminer l’équation de la tangente \(\mathscr{T}\) à la courbe représentative de \(f\) au point \(A\) sachant que cette tangente est parallèle à \((d).\)

Corrigé commenté

Nous savons que cette mystérieuse tangente a pour coefficient directeur \(-\frac{1}{4}\) puisqu’elle est parallèle à \((d).\) Donc, le nombre dérivé de \(f\) doit être égal à \(-\frac{1}{4}.\)

\(f’(x) = - \frac{4}{x^2}.\)

Donc nous posons \(-\frac{4}{x^2} = - \frac{1}{4}.\)
\(⇔ x^2 = 16\)

Par conséquent \(x = 4\) (\(x\) ne peut pas être égal à -4 car selon l’énoncé \(x > 0\)).

\(f(4) = -1 + 2 = 1.\)

Nous avons découvert les coordonnées de \(A(4\, ;1).\)

Reste que si nous connaissons le coefficient directeur de \(\mathscr{T},\) il nous manque l’ordonnée à l’origine pour que son équation soit complètement déterminée.

\(y = - \frac{1}{4}x + b\)

Comme elle est la tangente au point \(A\) nous pouvons remplacer \(x\) et \(y\) par ses coordonnées. \(1 = - \frac{1}{4} × 4 + b\)
\(\Leftrightarrow 1 = -1 + b\)
\(\Leftrightarrow b = 2\)

L’équation de \(\mathscr{T}\) est \(y = - \frac{1}{4}x + 2\)

Nous pouvons visualiser ceci avec GeoGebra. La courbe représentative de \(f\) est en rouge, \((d)\) figure en bleu et \(\mathscr{T}\) en vert.

tracés

Note : vous trouverez sur ce site d’autres exercices sur les tangentes, par exemple en page de fonction inverse et tangentes.

 

infini