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(et fondements mathématiques)

Le tableau de variation

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Initiation au tableau de variation d'une fonction

Niveau de difficulté de cette page : classe de seconde.

Le tableau de variation est la présentation schématique des directions que prend la courbe représentative d’une fonction. Un peu comme un dessin industriel schématise la réalité. C’est un outil très pratique pour savoir à quoi ressemble une courbe à partir de son expression algébrique, quoiqu’en seconde on découvre cet outil plus qu’on ne l’utilise ; du coup, on prend généralement le chemin à contresens : le tableau est tracé à partir de la courbe.

En haut du tableau figurent les valeurs remarquables de x et, s’il y a lieu, l’infini. Par « valeurs remarquables », entendez les extremums (minimum, maximum), les valeurs interdites et éventuellement d’autres valeurs (si un énoncé les indique). C’est en quelque sorte une représentation de l’axe des abscisses. Les valeurs de x sont présentées de façon équidistante : si elles sont 0, 1 et l’infini, on laisse autant d’espace entre 0 et 1 qu’entre 1 et l’infini. C’est le même principe que le tableau de signes.

Au-dessous se trouve la représentation schématique de la fonction. Selon les ouvrages, vous la trouverez notée f ou f(x). Là où elle est croissante, on présente une flèche qui monte ; là où elle est décroissante une flèche qui descend ; là où elle est constante (plus rare !) une flèche horizontale ; là où une valeur est interdite une double barre et si la fonction n’est pas définie sur un intervalle alors qu’elle l’est de part et d’autre, on indique par des hachures ce territoire inhospitalier. Aux extrémités de chaque flèche, on note la valeur prise par la fonction.

Prenons l’exemple de la fonction  f représentée ci-dessous et définie sur ]-4 ; 7].

courbe

Il y a quatre points à repérer. Par lecture graphique, on en déduit le tableau de variation :

tableau

L’établissement d’un tel tableau n’est pas difficile. L’erreur la plus souvent commise est de confondre x et f(x). Remarquez la double barre en x = -4 car la fonction n’y est pas définie. En revanche, elle l’est pour x = 7.

Même sans avoir à tracer la courbe, le tableau permet de répondre à certaines questions existentielles qui font la joie des profs de maths. Par exemple, en s’aidant du tableau ci-dessus, donner le nombre de solutions de l’équation f(x) = 3. Réponse : la première flèche part de 1 pour arriver à 7, donc elle passe par 3. La seconde passe aussi par 3 et idem pour la troisième. Donc, trois solutions. Et f(x) = -1 ? Le tableau nous montre que la fonction ne descend jamais au-dessous de 1. Par conséquent il n’y a pas de solution. Et si nous devions résoudre l’inéquation f(x) > 4 ? Eh bien nous ne pourrions pas répondre parce que le tableau n’indique pas pour quelles valeurs x = 4. Nous aurions besoin soit d’indications supplémentaires dans l’énoncé, soit de l’expression de la mystérieuse fonction qui se cache derrière ce tableau (et cette courbe).

Nous avons considéré une courbe donnée. Mais qu’en est-il si nous partons de l’expression d’une fonction, c’est-à-dire f(x) = … ?

Là, c’est un peu plus compliqué puisqu’il s’agit d’une étude de fonction qui n’est pas au programme de seconde. Mais pour certaines fonctions simples, il est possible de faire le lien.

Ainsi, le tableau de variation d’une fonction affine ne montre qu’une seule flèche puisque ce type de fonction est « monotone » (elle ne se retourne jamais).

La fonction carré est une fonction usuelle qui est, comme la précédente, au programme de seconde. Soit f(x) = .

Il est possible d’établir un tableau de valeurs qui permettra de construire la partie la plus intéressante de la courbe représentative (une parabole).

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
9 4 1 0 1 4 9 16

Lorsqu’une valeur est négative, plus elle est élevée (et rappelons que -1 est plus élevé que -2), plus son carré est petit. La fonction est décroissante. Le sens s’inverse pour les valeurs positives de x.

Le tableau de variation, fort simple, se présente ainsi :

fonction carré

Quant à la courbe (réalisation avec le logiciel Sine qua non)…

parabole

La fonction inverse, f(x) = 1 / x, également au programme de seconde, présente une « valeur interdite » : 0. C’est une fonction toujours décroissante sur son ensemble de définition.

tableau de la fonction inverse

NB : voir aussi la page exercice sur les liens entre courbe et fonction (niveau : seconde).

Au-delà de la seconde

Le tableau de variation d'une fonction permet de repérer aisément les asymptotes. Il s’obtient très souvent par l’étude du signe de la dérivée. En filière scientifique, on étudie aussi des tableaux qui n'indiquent pas tous les changements de sens. C'est le cas lorsque les mêmes variations se répètent à l’infini. Ce type de fonction est dit périodique (voir une illustration en page fonctions trigonométriques).

Logiciel

Vous pouvez dresser un tableau de variation avec SineQuaNon. Il ne sera pas réalisé automatiquement en entrant l'expression d'une fonction. Il faut entrer les valeurs de x et les valeurs de f(x) que vous souhaitez voir apparaître dans votre tableau.

 

tableau de variation

 

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