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(et fondements mathématiques)

Une première approche de la fonction inverse

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Initiation à la fonction inverse et au tracé de courbe sur TI

Bienvenue sur cette page destinée aux élèves de seconde (et aux autres qui souhaitent se rafraîchir la mémoire). Elle présente d’abord un condensé de cours sur la fonction inverse puis montre comment tracer la courbe représentative de cette fonction avec une calculatrice graphique Casio Graph 85 SD.

Présentation

En maths, il ne faut pas confondre les termes « inverse » et « opposé », comme on le fait dans la vie courante (d'ailleurs, vous le savez depuis la quatrième). Ainsi, l’opposé de 2 est -2 tandis que l’inverse de 2 est ½.

Donc, la fonction inverse est définie par l'équation suivante :

fonction inverse

La première chose qu’il faut remarquer, c’est que cette fonction n’est pas définie sur l’ensemble des réels. En effet, x doit être différent de zéro puisqu’un « zéroième » de quelque chose ne veut rien dire. En d’autres termes, si l’on avait 1 / 0 = a (a étant n’importe quel nombre), on résoudrait l’équation en multipliant a par 0, d’où 1 = 0 × a, donc 1 = 0 ce qui est manifestement faux.

L'ensemble de définition peut s'écrire ainsi :

domaine de définition

La fonction inverse ne change jamais le signe. Si x est négatif, alors 1 / x est forcément négatif.

La courbe représentative figure ci-dessous (réalisation sur Microsoft Maths). Ce type de courbe est une hyperbole. Non seulement on constate qu’il n’y a jamais de changement de signe, mais on vérifie aussi ce qui est assez évident, à savoir qu’un demi est plus grand qu’un tiers, lui-même plus grand qu’un quart et ainsi de suite (un millième est plus grand qu’un millionième…). En termes plus mathématiques, le sens de variation est toujours décroissant. Pour compléter cette présentation, voyez la page tableau de variation.

fonction inverse

Ne rêvez pas, vos exercices ne porteront pas directement sur cette fonction-ci mais sur d’autres qui en sont issues et qui sont un peu moins simples…

Fonction inverse et calculatrice graphique

Comment tracer la courbe représentative de la fonction inverse à l’aide de la Casio Graph 85 SD ?

D'abord appuyez sur la touche menu. Vous arrivez ici :

menu Casio

Choix 5. Un nouvel écran apparaît dans lequel vous entrez l'expression de la fonction. Donc 1 : x (on obtient x soit avec la touche X,θ,T soit avec la touche F5). Vous pouvez entrer jusqu'à vingt fonctions.

fonctions

Touche EXE pour valider. Le curseur passe à la ligne suivante. Touche F6. On obtient ce graphe :

tracé

Pour connaître les coordonnées de points de la courbe, utilisez la touche F1. Vous pourrez déplacer un curseur sur le tracé et lire, au bas de l'écran, les coordonnées du point sur lequel il se trouve. Ici, il se positionne par défaut sur la valeur de x égale à 0 et comme la fonction n'y est pas définie, la Casio renvoie un message d'erreur.

avec erreur

Si vous faites défiler le curseur avec les flèches gauche ou droite, ou si vous entrez directement une valeur de x, vous obtenez bien les coordonnées d'un point à condition que son abscisse appartienne à l'intervalle représenté à l'écran. Ci-dessous, la valeur 2 a été entrée.

sans erreur

La courbe est bien centrée dans la fenêtre mais vous pouvez être amené à la visualiser dans une zone de votre choix. Le principe est le même que celui d’une prise de vue avec un appareil photo : il faut d’une part que la prise de vue soit bien orientée et d’autre part que l’angle de champ soit adapté (niveau du zoom). Touche F3. Les valeurs à renseigner sont les bornes visibles des axes, éventuellement l'échelle (scale) et le pas (dot). Pour les nombres négatifs, pensez à utiliser la touche (-) et non la touche de soustraction. Exemple :

menu  tracé

Les valeurs minimales et maximales de chacun des axes ont été définies sur [-2 ; 2], les valeurs d'échelle et de pas sont celles par défaut. Touche F6. On remarque que si l'on enchaîne avec F1 les informations masquent une partie de la courbe en haut et en bas puisqu'au lieu d'être compris entre -2 et 2 l'axe des ordonnées l'est plutôt de -1,5 à 1,5.

 Si vous souhaitez étudier une fonction un peu plus élaborée, surtout n'oubliez pas les parenthèses ! Par exemple, entrez 1:(x+1) pour étudier la fonction ci-dessous.

exemple

 

inversion

 

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