Quatre fonctions de référence

Fonctions carré, cube, inverse et racine

Cette page s’adresse surtout aux élèves de seconde.

Qu’est-ce qu’une fonction de référence, ou usuelle ? C’est une sorte de brique élémentaire avec laquelle on construit d’autres fonctions. Au collège, on en étudie deux : la fonction linéaire et la fonction affine. On peut d’ailleurs considérer que l’on en voit une troisième, la fonction constante, et que l’affine est la somme d’une linéaire et d’une constante.

En seconde, on en découvre d’autres, puis d’autres en première et encore d’autres en terminale. Leurs combinaisons forment un ensemble infini de fonctions (pour votre plus grand plaisir).

Le programme de seconde mentionne les quatre fonctions de référence suivantes : carré, cube, inverse et racine carrée. Elles sont brièvement décrites ci-dessous et le sont plus en détail sur d'autres pages destinées aux premières et terminales. Les propriétés de leurs courbes représentatives sont vérifiables dans des repères orthogonaux (ce ne sera pas reprécisé).

 

La fonction carré

La fonction carré est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) telle que, quel que soit le réel \(x,\) \(f(x) = x^2.\)

C’est donc la fonction qui étudie le carré et c’est pourquoi on n’écrit pas « fonction carrée » avec un e (une fonction est une relation mais sûrement pas une forme géométrique !)

Pour tout \(x,\) on a \(x^2 \ge 0.\)

La courbe s’appelle une parabole. L’axe des ordonnées est son axe de symétrie. Le point le plus bas de la courbe est l’origine (en effet, \(0^2 = 0\)). Curieusement, on l’appelle le sommet de la parabole. Ci-dessous, elle est tracée en rouge (avec GeoGebra).

paraboles

Pour tout \(x,\) nous avons \((-x)^2 = x^2.\) Donc, pour tout \(x\) non nul, une valeur positive quelle qu’elle soit admet deux antécédents par \(f.\) Par exemple, si \(f(x) = 25,\) alors \(x = 5\)  ou \(x = -5.\) C’est le seul « piège » de la fonction carré.

Sur le graphe ci-dessus, trois autres courbes ont été tracées. La bleue représente la fonction \(g\) telle que \(g(x) = -x^2.\) En effet, si le carré est affecté d’un coefficient négatif (en l’occurrence -1), la parabole est inversée. La verte représente la fonction \(h\) telle que \(h(x) = 2x^2.\) Si le carré est affecté plus grand que 1, alors la parabole est plus resserrée que la fonction de référence. Au contraire, s’il est compris entre 0 et 1 exclus, la parabole est plus évasée (ci-dessus en orange avec \(0,5x^2\)).

 

La fonction cube

La fonction cube est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) telle que, quel que soit le réel \(x,\) \(f(x) = x^3.\)

Contrairement au carré, un cube n’est pas toujours positif. Tout réel \(x\) admet donc un cube du même signe.

La courbe représentative, appelée cubique, n’est pas symétrique par rapport à un axe mais par rapport à l’origine (symétrie centrale).

cubique

 

La fonction inverse

La fonction cube est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) (c’est-à-dire partout sauf en 0) telle que, quel que soit le réel \(x,\) \(f(x) = \frac{1}{x}.\)

Sa courbe est elle aussi symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire).

Voir la page sur l’introduction à la fonction inverse.

 

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}+,\) c’est-à-dire sur l’intervalle \([0\,;+\infty[,\) telle que, quel que soit le réel positif \(x,\) \(f(x) = \sqrt{x}\)

La courbe représentative est une demi-parabole. On la trace manuellement avec la tableau de valeurs suivant :

x 0 1 4 9
f(x) 0 1 2 3

racine carrée

Le tableau de variation se trouve en page d'exercices sur les extremums.

Vous remarquerez que le même point \((1\,;1)\) appartient aux quatre courbes représentatives de nos quatre fonctions de référence.

 

référence