Exercice sur les liens entre une fonction et sa courbe
Cette page est surtout destinée aux élèves de seconde. Elle vise à montrer à travers un exercice corrigé le lien qui existe entre une fonction et sa courbe représentative. Elle vient illustrer les pages antécédents et images et tableau de variation, notamment. Pour tracer une courbe avec une calculatrice à partir d'une expression algébrique, voir la page fonction inverse.
Énoncé
Soit \({\mathscr{C}_f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) (réalisation Geogebra) :
Partie A : lecture d’une courbe
1- Délimiter l'ensemble de définition \(D\) de \(f.\)
2- Quels sont son minimum et son maximum ? Pour quelles valeurs de \(x\) sont-ils atteints ?
3- Quelle est l’image de \(f\) par -2 ?
4- Résoudre graphiquement \(f(x) = 3\)
5- Résoudre graphiquement \(f(x) > 0\) et dresser le tableau de signes de \(f\) puis son tableau de variation.
Partie B : utilisation de l’expression algébrique
\({\mathscr{C}_f}\) représente la fonction \(f(x) = x^2 - 1\)
1- Déterminer l’image de 1,5
2- Retrouver par le calcul le résultat trouvé en A-4, c’est-à-dire \(f(x) = 3\)
3- La fonction \(f\) est-elle paire ? Impaire ?
Corrigé
Partie A
1- L'ensemble de définition est \([-2\,;3].\)
Commentaire : la courbe n’existe qu’entre les abscisses -2 et 3 (on peut supposer que si la courbe existait sur un autre intervalle, celui-ci apparaîtrait sur la figure) et l’on admettra que les valeurs -2 et 3 sont comprises, d’où les crochets fermés. Certes, il n’y a pas de gros points aux extrémités de la courbe pour bien montrer que ces valeurs appartiennent à l'ensemble de définition, mais il n’y a pas non plus de crochets ouverts. Donc, on les accepte.
2- Pour tout \(x\) de \([-2\,;3],\) \(f(x) \geqslant -1,\) donc le minimum est -1. Il est atteint en \(x = 0.\) Pour tout \(x\) de \([-2\,;3],\) \(f(x) \leqslant 8,\) donc le maximum est 8. Il est atteint pour \(x = 3.\)
Commentaire : un minimum ou un maximum peut très bien être atteint pour deux valeurs de \(x\) ou même plus, mais ce n’est pas le cas ici.
3- L’image de \(f\) par -2 est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse -2, c’est-à-dire 3
Commentaire : c’est une façon un peu alambiquée de vous demander \(f(-2).\)
4- Les solutions de l'équation \(f(x) = 3\) sont les abscisses des points d’intersection entre \({\mathscr{C}_f}\) et la droite d’équation \(y = 3,\) soit \(S = \{-2\,;2\}.\)
Commentaire : pour s’aider, on peut tracer la droite horizontale comme ci-dessous…
5- Les solutions de l’inéquation \(f(x) > 0\) sont les abscisses des points de \({\mathscr{C}_f}\) situés au-dessus de la droite d’équation \(y = 0,\) soit \([-2\,;-1[ \cup ]1\,;3].\)
Commentaire : \(f\) est positive lorsque sa courbe se situe au-dessus de l’axe des abscisses, tout simplement… Attention aux crochets : il s’agit d’une inégalité stricte, donc les valeurs pour lesquelles \(f(x) = 0,\) c’est-à-dire -2 et 2, ne sont pas comprises. En revanche, les autres extrémités des intervalles sont comprises puisque \(f(-2) > 0\) et \(f(3) > 0\) (c’est évident).
Partie B
1- \(f(1,5) = 1,5^2 - 1\) \(= 2,25 - 1 = 1,25\)
Commentaire : il aurait été difficile de donner la valeur exacte en se servant seulement du graphe, le plan repéré n'étant pas quadrillé très finement. De manière générale, ce n’est que grâce aux calculs que l’on peut être certain des coordonnées du point d’une courbe.
2- Résolvons \(f(x) = 3\)
\(x^2 - 1 = 3\)
\(\Leftrightarrow x^2 = 4\)
\(\Leftrightarrow x = -2\) ou \(x = 2\)
\(S = \{-2\,;2\}\)
Commentaire : nous retrouvons fort heureusement la conjecture à la réponse A-4...
3- Une fonction est paire si \(f(x) = f(-x).\) Sa courbe représentative admet un axe de symétrie qui n'est autre que celui des ordonnées pour tout \(x\) de \(D\). Typiquement, la fonction carré est paire.
Ici, \(f(-x) = (-x)^2 - 1\) et comme \((-x)^2 = x^2\) la fonction peut être paire. Toutefois cet exercice comporte un piège : \(f\) est définie sur \([2\,;3]\) mais pas sur \([-3\,;-2]\). Ainsi on ne pet pas écrire, par exemple, \(f(-2,5) = f(2,5).\) Notre fonction n'est pas paire.
Une fonction est impaire si \(f(-x) = -f(x).\) Sa courbe représentative admet un centre de symétrie : l'origine. Typiquement, la fonction inverse et la fonction cube sont impaires.
Ici, nous avons vu que \(f(-x) = x^2 - 1.\) Par ailleurs, \(-f(x) = -x^2 + 1.\) La fonction \(f\) ne peut en aucun cas être impaire.
