Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les liens entre fonction et courbe

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Exercice sur les liens entre une fonction et sa courbe

Cette page est surtout destinée aux élèves de seconde. Elle vise à montrer à travers un exercice corrigé le lien qui existe entre une fonction et sa courbe représentative. Elle vient illustrer les pages antécédents et images et tableau de variation, notamment. Pour tracer une courbe avec une calculatrice à partir d'une expression algébrique, voir la page fonction inverse.

Énoncé

Soit Cf la courbe représentative de la fonction f (réalisation Geogebra) :

Cf

Partie A : lecture d’une courbe

1- Délimiter l'ensemble de définition de f.
2- Quels sont son minimum et son maximum ? Pour quelles valeurs de x sont-ils atteints ?
3- Quelle est l’image de f par -2 ?
4- Résoudre graphiquement f(x) = 3
5- Résoudre graphiquement f(x) > 0 et dresser le tableau de signes de f puis le tableau de variation de f.

Partie B : utilisation de l’expression algébrique

Cf représente la fonction f(x) = x²  1

1- Déterminer l’image de 1,5
2- Quels sont les antécédents de 0 et de 7 ?
3- Retrouver par le calcul le résultat trouvé en A-4, c’est-à-dire f(x) = 3

Corrigé

Partie A

1- L'ensemble de définition est [-2 ; 3].

Commentaire : la courbe n’existe qu’entre les abscisses -2 et 3 (on peut supposer que si la courbe existait sur un autre intervalle, celui-ci apparaîtrait sur la figure) et l’on admettra que les valeurs -2 et 3 sont comprises, d’où les crochets fermés. Certes, il n’y a pas de gros points aux extrémités de la courbe pour bien montrer que ces valeurs appartiennent à l'ensemble de définition, mais il n’y a pas non plus de crochets ouverts. Donc, on les accepte.

2- Pour tout x de [-2 ; 3], f(x) ≥ -1, donc le minimum est -1. Il est atteint en x = 0. Pour tout x de [-2 ; 3], f(x) ≤ 8, donc le maximum est 8. Il est atteint en x = 3.

Commentaire : un minimum ou un maximum peut très bien être atteint pour deux valeurs de x ou même plus, mais ce n’est pas le cas ici.

3- L’image de f par -2 est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse -2, c’est-à-dire 3

Commentaire : c’est une façon un peu alambiquée de vous demander f(-2)

4- Les solutions de f(x) = 3 sont les abscisses des points d’intersection entre Cf et la droite d’équation y = 3, soit S = {-2 ; 2}

Commentaire : pour s’aider, on peut tracer la droite horizontale comme ci-dessous…

Cf et droite

5- Les solutions de l’inéquation f(x) > 0 sont les abscisses des points de Cf situés au-dessus de la droite d’équation y = 0, soit [-2 ; -1[ U ]1 ; 3]

tableau de signes

Commentaire : f(x) est positive au-dessus de l’axe des abscisses, tout simplement… Attention aux crochets : il s’agit d’une inégalité stricte, donc les valeurs pour lesquelles f(x) = 0, c’est-à-dire -2 et 2, ne sont pas comprises. En revanche, les autres extrémités des intervalles sont comprises puisque f(-2) > 0 et f(3) > 0 (c’est évident).

tableau de variation

Partie B

1- f(1,5) = 1,5² – 1 = 2,25 – 1 = 1,25

Commentaire : il aurait été difficile de donner la valeur exacte en se servant seulement du graphe, le plan repéré n'étant pas quadrillé très finement. De manière générale, ce n’est que grâce aux calculs que l’on peut être certain des coordonnes du point d’une courbe.

2- Posons x² – 1 = 0, donc x² = 1. Ce carré a deux antécédents, -1 et 1. Ils font tous deux partie de l’ensemble de définition. Donc, S = {-1 ; 1}

Nous avons x² – 1 = 7, soit x² = 8. Cette équation admet deux solutions :

solutions

La seconde solution est environ égale à -2,8. Elle ne fait donc pas partie de l’ensemble de définition de f. Il reste donc S = {2√2}.

Commentaire : on le vérifie approximativement sur le graphe.

3- Résolvons f(x) = 3

x² – 1 = 3
⇔ x² = 4
⇔ x = -2 ou x = 2

S = {-2 ; 2}

Commentaire : nous retrouvons fort heureusement la conjecture à la réponse A-4...

 

effrayants

 

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