Un exercice avec fonction inverse

Fonction inverse (terminales technologiques)

Le contenu de cette page est calibré pour les élèves des terminales technologiques. Dans un premier temps, nous résumerons les points du cours (années antérieures et terminale) puis nous vous proposerons un sympathique entraînement.

 

À savoir

La fonction inverse est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \frac{1}{x}\)

Elle est dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée est \(f’(x) = - \frac{1}{x^2}.\)

Son tableau de variation est le suivant :

Sa courbe représentative :

Que suggère-t-elle ?

Quand \(x\) prend des valeurs infiniment grandes, la fonction tend vers 0. Même si vous n’avez jamais étudié la fonction inverse, vous savez qu’un centième est plus petit qu’un dixième, qu’un millième est plus petit qu’un centième… Bref, 1 divisé par un nombre infiniment grand est infiniment petit. Et ça marche aussi pour des nombres négatifs.

On le visualise sur la courbe qui s’approche infiniment de l’axe des abscisses sans jamais l’atteindre. On appelle asymptote une droite qui a cette propriété. Ici, c’est donc l’axe des abscisses mais si l'on étudie la fonction \(f : x\mapsto \frac{1}{x} + 1\) alors on monte d’un cran et c’est la droite horizontale d’équation \(y = 1\) qui est l’asymptote.

Si vous observez la courbe, vous remarquez une autre asymptote : l’axe des ordonnées. Comme la fonction inverse n’est pas définie en 0, il est normal que la courbe ne le coupe pas. Mais pourquoi est-ce une asymptote ? Parce que l’inverse d’un nombre infiniment petit est infiniment grand (ces notions de petit et de grand s’apprécient pour des nombres positifs mais le principereste le même pour les nombres négatifs).

 

Échauffement

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = 3x^3 + 5x - \frac{1}{x}.\) Donner l’expression de sa dérivée.

Corrigé

\(f’(x) = 3 × 3x^2 + 5 - (-\frac{1}{x^2})\)
\(⇔ f’(x) = 9x^2 + 5 + \frac{1}{x^2}\)

 

Problème

Une petite entreprise artisanale fabrique des répliques d'objets antiques. Au maximum, elle peut en produire 25 par jour.

Le coût total de production (en euros) dépend du nombre \(x\) d’objets fabriqués. Il est donné par la fonction de coût exprimée ainsi : \(C_T(x) = 0,1x^2 + 30x + 40.\)

Le coût unitaire d’un produit est donné par la fonction \(C_M(x) = \frac{C_T(x)}{x}\)

  1. Quel est l’ensemble de définition ?
  2. À combien s’élèvent les coûts fixes quotidiens ?
  3. Quel est le coût de production d’un objet si la production est de 10 unités ?
  4. Déterminer la dérivée de \(C_M\) et donner son ensemble de définition.
  5. Déterminer le signe de cette dérivée.
  6. Dresser le tableau de variation de \(C_M.\)
  7. Conclure.

 

Corrigé

1- L’ensemble de définition est \(D_C = [0\, ;25].\)

2- Le montant du coût total est établi par une somme de trois termes dont un seul ne dépend pas de \(x.\) Les coûts fixes sont donc de 40 €.

3- Le coût moyen est donné par \(C_M(x) = \frac{0,1x^2 + 30x + 40}{x}\)

On peut aussi écrire \(C(x) = 0,1x + 30 + \frac{40}{x}\) (c’est cette expression que nous dériverons).

Si l’entreprise fabrique dix objets, \(C_M(10) = 1 + 30 + 4 = 35\) et la fabrication de chaque objet coûte 35 €.

4- C’est là que la dérivée de la fonction inverse intervient !

\(C’_M (x) = 0,1 - \frac{40}{x^2}\)

Un dénominateur ne peut être nul, donc l’ensemble de définition est l’intervalle \(]0\, ;25].\) Cette fois, zéro est exclu. Concrètement, il est possible de ne rien produire mais cela n’a pas de sens de calculer un coût moyen sur une production nulle.

5- Cherchons les valeurs de \(x\) pour lesquelles la dérivée est positive.

\(0,1 - \frac{40}{x^2} \geqslant 0\)
\(⇔  0,1 \geqslant \frac{40}{x^2}\)
\(\Leftrightarrow x^2 \geqslant \frac{40}{0,1}\)
\(\Leftrightarrow x^2 \geqslant 400\)
\(\Leftrightarrow x \geqslant  20\) (-20 étant hors de l’ensemble de définition, ce n'est pas une solution de l'inéquation).

La dérivée est positive pour \(x \geqslant 20\) et négative sinon.

6- Le coût moyen minimal, pour une production de 20 objets, est de \(C_M(20)\) \(=\) \(2 + 30 + 2 = 34\) euros.

\(C_M(25) = 2,5 + 30 + 1,6 = 34,1\)

7- La production optimale est de 20 objets par jour. C’est celle qui permet d’obtenir le coût unitaire le plus faible : 34 €.