Primitives de fonctions de types 2uu''et u'/u
Cette page s’adresse tout spécialement aux élèves de terminale générale ayant choisi l’option maths complémentaires. Bien entendu, on peut être étudiant ou en maths de spécialité et trouver un intérêt aux exercices qui sont proposés ici (surtout le dernier).
Elle complète la page d’exercices sur primitives avec exponentielles. Si elle vous semble compliquée, voyez d'abord les exercices sur primitives qui s'adressent plutôt aux élèves de filières technologiques.
Mode d’emploi
1- Primitive d'une fonction de type \(2uu’\)
Si une fonction est de type \(f(x) = 2u(x)u’(x)\) (avec \(u’\) dérivée de \(u\)) alors ses primitives sont de type \(u^2 + c\) (\(c\) étant une constante réelle ; nous ne le répèterons pas pour chaque exercice mais sur cette page ce sera toujours le cas).
Par exemple, soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\) par \(f(x) = \frac{2 \ln x}{x}.\)
On reconnaît un modèle \(2uu’\) avec \(u(x) = \ln x.\) Donc une primitive de \(f\) s’écrit \(F(x) = ( \ln x)^2.\)
Notez que si une fonction a pour structure \(uu’\) alors ses primitives s’écrivent \(F(x) = \frac{1}{2}u^2 + c.\)
2- Primitive d'une fonction de type \(\frac{u’}{u}\)
Si une fonction s’écrit sous la forme \(f(x) = \frac{u’}{u}\) avec \(u > 0\) alors ses primitives s’écrivent \(F(x) = \ln u + c.\)
Soit par exemple la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\)
Il s’agit bien d’une forme \(\frac{u’}{u}\) avec \(u(x) = x^2 + 1.\) Donc une primitive a pour expression \(F(x) = \ln(x^2 + 1).\)
Exercices
Déterminer les primitives de \(f\) sur les intervalles donnés.
\(f_1(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 10}\) sur \(\mathbb{R}.\)
\(f_2(x) = \frac{1}{x - 2}\) sur \(I = ]2\, ;+∞[.\)
\(f_3(x) = \frac{1}{x - 2}\) sur \(I = ]-∞\, ;2[.\)
\(f_4(x) = (x^4 + 3x)(4x^3 + 3)\) sur \(\mathbb{R}.\)
Corrigés
\(f_1(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 10}\)
On reconnaît une forme \(\frac{u’}{u}.\)
Donc les primitives s’écrivent \(F_1(x) = \ln(x^2 + 3x - 1) + c\)
Vérifions l’ensemble de définition de \(F_1.\)
Soit \(Δ\) le discriminant du dénominateur de \(f_1,\) \(x^2 + 3x + 10.\)
\(\Delta = -31.\) Comme \(Δ < 0\) le trinôme n’admet pas de racine et son signe est celui de \(a\) (en l’occurrence 1) donc positif.
Comme \(x^2 + 3x + 10 > 0\) alors \(F\) est bien définie sur \(\mathbb{R}.\)
\(f_2(x) = \frac{1}{x - 2}\)
Cas facile.
Même forme \(\frac{u’}{u}\) que précédemment.
\(F_2(x) = \ln (x - 2) + c\)
\(f_3(x) = \frac{1}{x - 2}\) sur \(I = ]-∞\, ;2[\)
Ce cas est plus subtil que le précédent. Vous avez dû remarquez que dans le type \({u’}{u}\) il faut que \(u\) soit strictement positif puisque le logarithme d’un nombre négatif n’existe pas. Ici, l’ensemble de définition laisse supposer que l’opération est insoluble.
Si vous n’entrevoyez aucune lueur d’espoir, transformez l’écriture de \(f_3(x).\)
\(f_3(x) = -\frac{1}{2 - x}\)
Et là, non seulement l’ensemble de définition est cohérent mais la forme \(\frac{u’}{u}\) apparaît dans toute sa majesté.
\(F_3(x) = \ln (2 - x) + c\)
\(f_4(x) = (x^4 + 3x)(4x^3 + 3)\) sur \(\mathbb{R}.\)
On reconnaît la forme \(uu’\) avec \(u(x) = x^4 + 3x.\)
Donc \(F_4(x) = \frac{1}{2}(x^4 + 3x)^2 + c\)
Exercice avec identification
Soit la fonction \(f\) définie sur \(]-3\, ; +∞[\) par \(f(x)= \frac{x^2 + 3x - 5}{x + 3}\)
Déterminer la primitive de \(f\) qui s’annule en 0.
Aide : montrer que l’on peut écrire \(f(x) = ax + b + \frac{c}{x + 3}\) en déterminant les réels \(a,\) \(b\) et \(c.\)
Corrigé
Nous remarquons que la première expression ne permet pas de trouver facilement une primitive, contrairement à la seconde. Nous allons donc partir de la seconde pour identifier \(a,\) \(b\) et \(c\).
\(f(x) = \frac{(ax + b)(x + 3) + c}{x + 3}\)
\(⇔ f(x) = \frac{ax^2 + 3ax + bx + 3b + c}{x + 3}\)
\(⇔ f(x) = \frac{ax^2 + (3a + b)x + 3b + c}{x + 3}\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 1}\\
{3a + b = 3}\\
{3b + c = - 5}
\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 1}\\
{b = 0}\\
{c = - 5}
\end{array}} \right.\)
Donc \(f(x) = x - \frac{5}{x + 3}\)
Ses primitives sont \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 5 \ln(x + 3) + c\)
Pour déterminer la primitive qui s’annule en 0 nous devons trouver \(c.\)
\(F(0) = 0 - 5 \ln 3 + c = 0\)
Donc \(c = 5 \ln 3\)
Conclusion, la primitive de \(f\) qui s’annule en 0 est \(F(x)\) \(=\) \(\frac{1}{2}x^2 - 5 \ln(x + 3) + 5 \ln 3\)
