Des exercices sur primitives avec sinus et cosinus

Primitives de fonctions trigonométriques (premières STL-STI2D)

Pour vous qui êtes en première STI2D ou STL, voici un rappel de cours sur les primitives de fonctions trigonométriques ainsi que des exercices d’application et bien sûr leurs corrigés.

Note : avant de passer aux exercices, il peut être utile de réviser les angles associés. Certes, vous pouvez ne pas vous en servir mais les calculs seront moins pratiques. Lorsque le choix se présentera, le corrigé indiquera les deux façons de faire.

Bon courage.

 

Primitives

Ci-dessous, \(C\) est une constante réelle, \(A\) et \(\phi\) des réels donnés et \(ω\) un réel donné non nul.

Fonction \(f\) Primitive \(F\)
\(A \sin (\omega t + \phi)\) \(-\frac{A}{\omega} \cos (\omega t + \phi) + C\)
\(A \cos (\omega t + \phi)\) \(\frac{A}{\omega} \sin (\omega t + \phi) + C\)

Ces fonctions ainsi que leurs primitives sont définies sur \(\mathbb{R}.\)

Les fonctions les plus simples sont donc :

Fonction \(f\) Primitive \(F\)
\(\sin x\) \(- \cos x + C\)
\(\cos x\) \(\sin x + C\)

La principale difficulté est de ne pas s’embrouiller avec les dérivées !

sinusoidale

 

Exercice 1

Déterminer les primitives sur \(\mathbb{R}\) des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = 3 \sin x - 2\ \cos x\)
  2. \(g(x) = \sin (0,5x + π) \)
  3. \(h(x) = -2 \cos (3x + \frac{π}{4}) \)

 

Corrigé

1- \(f(x)\) \(=\) \(3 \sin x - 2 \cos x\) donc \(F(x)\) \(=\) \(-3 \cos x - 2 \sin x + C.\) Aucune difficulté.

2- \(g(x)\) \(=\) \(\sin (0,5x + π)\) donc \(G(x)\) \(=\) \(-\frac{1}{0,5} \cos (0,5x + π) + C\)
\(⇔ G(x) = -2 \cos (0,5x + π) + C\)

Notez que l’on peut simplifier cette expression en utilisant les angles associés. On obtient alors \(G(x)\) \(=\) \(2 \cos 0,5x + C.\) Nous aurions aussi pu les utiliser en modifiant l’expression de \(g.\) Ainsi, \(g(x)\) \(=\) \(- \sin 0,5x\) et la détermination de ses primitives est plus facile…

3- \(h(x)\) \(=\) \(-2 \cos (3x + \frac{π}{4}) \) donc \(G(x)\) \(=\) \(-\frac{2}{3} \sin (3x + \frac{π}{4}) + C\)

 

Exercice 2

Déterminer sur \(\mathbb{R}\) les primitives qui s’annulent en 0 des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = \sin x - \cos x\)
  2. \(g(x) = \cos (2x + π) \)
  3. \(h(x) = 3 \sin (3x + \frac{π}{3})\)

 

Corrigé 2

1- \(f(x) = \sin x - \cos x\) et nous devons trouver sa primitive telle que \(F(0) = 0\)

\(F(x) = - \cos x - \sin x + C\)

\(F(0) = - \cos 0 - \sin 0 + C\)
\(⇔ F(0) = -1 + C\) d’où \(C = 1\)

\(F(x) = -\cos x - \sin x + 1\)

2- \(g(x) = \cos (2x + π).\) Là encore, nous devons trouver la constante \(C\) telle que \(G(0) + C = 0.\)

\(G(x) = \frac{1}{2} \sin (2x + π) + C\)

\(G(0) = \frac{1}{2} \sin π + C\)
\(⇔ G(0) = 0 + C\) puisque \(\sin π = 0.\) Donc \(C = 0.\)

\(G(x) = \frac{1}{2} \sin (2x + π)\)

Là encore nous aurions pu passer par le chemin des angles associés. Les expressions des fonctions sont plus « élégantes » mais bien sûr, il faut se souvenir des formules (ou les retrouver avec le cercle trigonométrique). Ainsi…

\(g(x) = - \cos 2x\) et \(G(x) = - \frac{1}{2} \sin 2x + C\)

3- \(h(x) = 3 \sin (3x + \frac{π}{3})\)

\(H(x) = - \cos (3x + \frac{π}{3}) + C\)

\(H(0) = - \cos \frac{π}{3} + C\)
\(⇔ H(0) = -0,5 + C\)

\(H(0) = 0\) donc \(C = 0,5.\)

\(H(x) = - \cos (3x + \frac{π}{3}) + 0,5\)

 

Exercice 3

Un peu plus difficile…

Déterminer les primitives sur \(\mathbb{R}\) des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = \frac{1}{2} \cos π \, x + 2\)
  2. \(g(x) = π \cos π \, x + \frac{x}{2}\)

 

Corrigé 3

1- \(F(x) = \frac{1}{2 π} \sin π \, x + 2x + C\)

2- \(G(x) = \sin π \,x + \frac{1}{4}x^2 + C\)