Primitives avec sinus ou cosinus
Le niveau de cette page est adapté à la terminale spécialité maths, dont le programme prévoit l’étude des primitives de fonctions de référence (fonctions trigonométriques incluses) et de la forme \(v’ ∘ u) × u’.\) Avec ça, nous devrions pouvoir nous amuser un peu…
Fonctions trigonométriques
Les primitives définies sur \(\mathbb{R}\) sont les suivantes (\(c\) est une constante réelle) :
| Fonction \(f\) | Primitive \(F\) |
| \(\sin x\) | \(- \cos x + c\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + c\) |
Exercices
Déterminer les primitives des fonctions suivantes.
- \(f_1 : x ↦ \cos x + x^2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\)
- \(f_2 : x ↦ 2 \sin x \cos x\) définie sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_3 : x ↦ \cos x \sin ^2 x\) définie sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_4 : x ↦ - \sin x \cos^5 x\) définie sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_5 : x ↦ a \cos (ax + b)\) définie sur \(\mathbb{R}\)
- Quelle est l’expression d’une primitive de la fonction tangente ?
Corrigés
On notera \(c\) les constantes.
1- Celle-ci est surtout là pour vous faire réviser les primitives de fonctions usuelles :
\(F_1(x) = \sin x + \frac{1}{3} x^3 - \ln x + 2 \sqrt{x} + c\)
2- Rappelons que la dérivée de \(\sin x\) est \(\cos x.\) Nous sommes donc en présence d’une forme \(2uu’\) dont une primitive est \(u^2.\)
Donc \(F(x) = \sin^2 x + c\)
3- Soit \(u(x) = \sin x.\) Donc \(u’(x) = \cos x.\) Par conséquent, \(f_3\) est de la forme \(u’u^2\) dont une primitive est de la forme \( \frac{1}{3}u^3.\)
Il s’ensuit que \(F_3 = \frac{1}{3} \sin^3 x+ c\)
4- \(f_5\) est de la forme \(u’u^5.\)
Ainsi \(F_5(x) = \frac{1}{6} \cos^6 x\)
5- Vous avez dû étudier en première la dérivée de \(f(ax + b)\).
Vous comprendrez donc sans que l’on s’éternise dessus que \(F_5(x) = \sin (ax + b) + c\)
De même une primitive de \(f(x) = -a \sin(ax + b)\) est \(F(x) = cos (ax + b) + c.\)
6- Rappelons d’abord que \(\tan x = \frac {\sin x}{\cos x}\)
Elle n’est pas définie pour \(\cos x = 0\) c’est-à-dire pour \(1 + 2k π\) avec \(k ∈ \mathbb{Z}.\)
C’est donc une fonction de type \(- \frac{u’}{u}\) avec \(u(x) = \cos x.\)
Ainsi une primitive est \(- \ln |\cos x|\)
Notez la valeur absolue. En effet, si le cosinus était négatif le logarithme ne serait pas défini. Le programme officiel est flou sur les primitivations de type \(\frac{u’}{u}\) et les manuels n’étudient guère ce cas de figure, sauf à préciser \(u > 0\) ce qui n’est pas le cas ici. Considérez cet exercice comme un « supplément » à votre programme !
Extrait du sujet de bac S Nouvelle-Calédonie, mars 2012
Il s’agit d’une question extraite d’un vrai/faux. La réponse n’appelle aucune connaissance sur les fonctions trigonométriques en particulier, mais c'est bien de ce type de fonction que sont issues les courbes présentées.
- On considère une fonction \(f,\) sa dérivée \(f’\) et son unique primitive \(F\) s’annulant en \(x = 0.\) Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous.
- Proposition : « la courbe 3 ci-dessous est la représentation graphique de \(f.\) »
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3
Corrigé
Selon l’énoncé, l’origine doit appartenir à la courbe représentative de \(F.\) C’est donc la courbe 1 ou 3. À partir de là, vous êtes libre d’utiliser les indices qui vous parlent le mieux.
Si la courbe 1 représente \(F,\) alors la courbe qui représente sa dérivée \(f\) doit être négative sur l’intervalle \([-\frac{π}{4}\, ;\frac{π}{4}].\) Or aucune courbe ne correspond à ce profil. Donc \(F\) est représentée par la courbe 3. Inutile d’aller plus loin pour répondre à la question, la proposition est fausse.
En revanche, si vous souhaitez approfondir le sujet, sachez que la courbe 1 représente très probablement \(f’(x) = -4 \sin 2x,\) la courbe 2 \(f(x) = 2 \cos 2x\) et la courbe 3 \(F(x) = \sin 2x.\)
