Primitives avec sinus ou cosinus
Le niveau de cette page est adapté à la terminale spécialité maths, dont le programme prévoit l’étude des primitives de fonctions de référence (fonctions trigonométriques incluses) et de la forme \(v’ ∘ u) × u’.\) Avec ça, nous devrions pouvoir nous amuser un peu…
Fonctions trigonométriques
Les primitives définies sur \(\mathbb{R}\) sont les suivantes (\(c\) est une constante réelle) :
| Fonction \(f\) | Primitive \(F\) |
| \(\sin x\) | \(- \cos x + c\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + c\) |
Exercices
Déterminer les primitives des fonctions suivantes.
- \(f_1 : x ↦ \cos x + x^2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\)
- \(f_2 : x ↦ 2 \sin x \cos x\) définie sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_3 : x ↦ \cos x \sin ^2 x\) définie sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_4 : x ↦ - \sin x \cos^5 x\) définie sur \(\mathbb{R}\)
- \(f_5 : x ↦ a \cos (ax + b)\) définie sur \(\mathbb{R}\)
- Quelle est l’expression d’une primitive de la fonction tangente ?
Corrigés
On notera \(c\) les constantes.
1- Celle-ci est surtout là pour vous faire réviser les primitives de fonctions usuelles :
\(F_1(x) = \sin x + \frac{1}{3} x^3 - \ln x + 2 \sqrt{x} + c\)
2- Rappelons que la dérivée de \(\sin x\) est \(\cos x.\) Nous sommes donc en présence d’une forme \(2uu’\) dont une primitive est \(u^2.\)
Donc \(F(x) = \sin^2 x + c\)
3- Soit \(u(x) = \sin x.\) Donc \(u’(x) = \cos x.\) Par conséquent, \(f_3\) est de la forme \(u’u^2\) dont une primitive est de la forme \( \frac{1}{3}u^3.\)
Il s’ensuit que \(F_3 = \frac{1}{3} \sin^3 x+ c\)
4- \(f_5\) est de la forme \(u’u^5.\)
Ainsi \(F_5(x) = \frac{1}{6} \cos^6 x\)
5- Vous avez dû étudier en première la dérivée de \(f(ax + b)\).
Vous comprendrez donc sans que l’on s’éternise dessus que \(F_5(x) = \sin (ax + b) + c\)
De même une primitive de \(f(x) = -a \sin(ax + b)\) est \(F(x) = \cos (ax + b) + c.\)
Ce type de fonction fait l'objet de la page d'exercices sur primitives de fonctions trigonométriques, écrite pour les élèves des premières STL et STI2D mais que vous pourrez consulter avec profit.
6- Rappelons d’abord que \(\tan x = \frac {\sin x}{\cos x}\)
Elle n’est pas définie pour \(\cos x = 0\) c’est-à-dire pour \(1 + 2k π\) avec \(k ∈ \mathbb{Z}.\)
C’est donc une fonction de type \(- \frac{u’}{u}\) avec \(u(x) = \cos x.\)
Ainsi une primitive est \(- \ln |\cos x|\)
Notez la valeur absolue. En effet, si le cosinus était négatif le logarithme ne serait pas défini. Le programme officiel est flou sur les primitivations de type \(\frac{u’}{u}\) et les manuels n’étudient guère ce cas de figure, sauf à préciser \(u > 0\) ce qui n’est pas le cas ici. Considérez cet exercice comme un « supplément » à votre programme !
Extrait du sujet de bac S Nouvelle-Calédonie, mars 2012
Il s’agit d’une question extraite d’un vrai/faux. La réponse n’appelle aucune connaissance sur les fonctions trigonométriques en particulier, mais c'est bien de ce type de fonction que sont issues les courbes présentées.
- On considère une fonction \(f,\) sa dérivée \(f’\) et son unique primitive \(F\) s’annulant en \(x = 0.\) Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous.
- Proposition : « la courbe 3 ci-dessous est la représentation graphique de \(f.\) »
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3
Corrigé
Selon l’énoncé, l’origine doit appartenir à la courbe représentative de \(F.\) C’est donc la première ou la troisième. À partir de là, vous êtes libre d’utiliser les indices qui vous parlent le mieux.
Si la première représente \(F,\) alors la courbe qui représente sa dérivée \(f\) doit être négative sur l’intervalle \([-\frac{π}{4}\, ;\frac{π}{4}].\) Or aucune courbe ne correspond à ce profil. Donc \(F\) est représentée par la courbe 3. Inutile d’aller plus loin pour répondre à la question, la proposition est fausse.
En revanche, si vous souhaitez approfondir le sujet, sachez que la courbe 1 représente très probablement \(f’(x) = -4 \sin 2x,\) la courbe 2 \(f(x) = 2 \cos 2x\) et la courbe 3 \(F(x) = \sin 2x.\)
