Les figures géométriques

Figures et lieux de la géométrie euclidienne

Certaines règles de géométrie sont connues depuis le Néolithique, lorsque les populations se sont établies pour pratiquer l’agriculture avec comme corollaire la propriété privée des terrains. Dans l’Égypte ancienne, après les crues du Nil, les paysans devaient retrouver les limites de leurs champs. D’où la nécessité d’une géométrie c’est-à-dire, étymologiquement, d’une mesure de la terre.

La géométrie enseignée à l’école élémentaire et dans le secondaire est dite « euclidienne ». Ses grands principes ont été énoncés il y a 2 300 ans par Euclide, mystérieux mathématicien grec. Mais il existe d’autres géométries. En deux dimensions, l’euclidienne est plane ; aussi un pilote d’avion n’utilise-t-il pas la géométrie euclidienne puisque sa trajectoire tient compte de la courbure de la Terre (géométrie « sphérique » ou, pour reprendre la typologie de Félix Klein, « elliptique »).

Il y a deux volets dans l’enseignement de cette branche des mathématiques (du moins dans le secondaire). D’abord la connaissance des figures, qui est la partie à laquelle on pense immédiatement. Mais il ne faut pas oublier les démonstrations. En effet, la géométrie est un domaine propice a ce type d’exercice parfois déroutant mais qui permet d’acquérir une bonne logique déductive.

Le point

Un point n’est pas une figure mais un élément abstrait. Abstrait car infiniment petit. C’est juste un emplacement. Bien sûr, on le représente quand même, donc avec une certaine taille, et on le nomme habituellement avec une lettre majuscule.

Toute droite ou toute courbe peut être définie comme une infinité de points qui se suivent selon un certain tracé.

Deux droites se croisent en un point (à partir de trois droites, on dit qu’elles sont concourantes en un même point).

Dans une figure géométrique, on ne nomme que les points particuliers, nécessaires à une démonstration : sommets, centres, intersections, milieux…

Les formes à une dimension

Un élément à une dimension est soit une droite, de taille infinie, soit un segment de droite, de taille finie, soit une demi-droite qui possède une extrémité d’un côté et part à l’infini de l’autre.

Une droite qui contient les points A et B se note (AB), un segment entre les points A et B se note [AB], une demi-droite qui part de A et contient B se note [AB) et une demi-droite qui contient A et qui part de B se note (AB].

Les points qui se trouvent sur une même droite sont dits colinéaires. Dans le plan, deux points sont toujours colinéaires et donc la question de colinéarité se pose à partir de trois points. Dans l’espace, ils sont coplanaires s’ils se situent sur un même plan. Trois points sont toujours coplanaires.

Dans un espace à deux dimensions, deux droites sont soit sécantes soit parallèles. Dans un espace à trois dimensions, elles peuvent être ni l’une ni l’autre (voir la page orthogonalité).

Formes et figures à deux dimensions

L’angle est une forme à deux dimensions. Les types d’angles et leur mesure font l’objet de la page angles.

Voir aussi la page paires et partages d’angles.

Une figure géométrique est une forme qui peut être décrite mathématiquement. Elle est donc relativement simple. Une silhouette humaine, par exemple, n’en est pas une. Des formes plus complexes, les fractales, sont étudiées mathématiquement depuis les années 1980, mais elles ne relèvent pas de la géométrie euclidienne.

Certaines figures n’ont pas d’angle : le cercle est certainement celle qui a le plus de propriétés. Voir la page cercle et disque. Lorsqu’un plan sectionne un cône parallèlement à sa base, il fait apparaître un cercle. Lorsque la section n’est pas parallèle, on obtient une ellipse. Il s’agit d’une courbe qui possède une infinité de diamètres entre un plus petit (le petit axe) et un plus grand (le grand axe). Des figures un peu plus complexes peuvent être construites avec des arcs de cercle (voir la page arbelos).

Les autres figures fermées habituellement étudiées sont les polygones. En grec, ce terme signifie qu’ils ont plusieurs angles (et autant de segments contigus appelés « côtés », qui se croisent en points appelés « sommets »).

Le triangle est celui qui possède le moins de côtés. Voir les pages triangles et théorème de Pythagore.

Une figure à quatre côtés est un quadrilatère. Celui-ci peut être concave, convexe ou croisé. Les quadrilatères étudiés au collège sont les convexes ayant deux côtés parallèles (trapèze) ou deux côtés parallèles deux à deux. Voir la page quadrilatères.

Le cerf-volant a deux paires de côtés consécutifs égaux mais pas toujours parallèles (et si c’est le cas, il s’agit d’un losange).

Quelques polygones convexes ayant un nombre plus élevé de côtés ont un nom. Ils sont dits « réguliers » si leurs angles ont même mesure.

Cinq côtés : pentagone.
Six côtés : hexagone.
Sept côtés : heptagone.
Huit côtés : octogone.
Neuf côtés : ennéagone (ou nonagone).
Dix côtés : décagone.
Onze côtés : hendécagone.
Douze côtés : dodécagone.
Treize côtés : tridécagone.
Quatorze côtés : tétradécagone.
Quinze côtés : pentadécagone.
Seize côtés : hexadécagone.
Dix-sept côtés : heptadécagone.
Dix-huit côtés : octadécagone.
Dix-neuf côtés : ennéadécagone.
Vingt côtés : isocagone.
Trente côtés : triacontagone.
Quarante côtés : tétracontagone.
Cinquante côtés : pentacontagone.
Cent côtés : hectogone.
Mille côtés : chiliogone.

Une diagonale est un segment de droite qui relie deux sommets non consécutifs d’un polygone. Un triangle n’en a donc aucune. Le nombre de diagonales d’un polygone de n côtés est égal à n(n – 3) / 2.

En trois dimensions, on parle de solide plutôt que de figure.

Aires et périmètres

Dans une figure à deux dimensions, les grandeurs les plus étudiées sont le périmètre et l’aire.

Le périmètre est le contour de la figure. Pour un cercle, on parle de circonférence.

Un cercle est inscrit dans un polygone s'il a un point en commun avec chacun des côtés du polygone. Un cercle est circonscrit à un polygone si chaque sommet de ce dernier a un point commun avec lui.

Les aires sont traitées en page aires.

L’aire et le périmètre d’une figure géométrique sont toujours liés de la même façon selon le type de figure : le périmètre d’une figure plane est égal à la racine carrée de son aire multipliée par une constante. Par exemple, pour un carré cette constante est égale à 4 et pour un cercle elle est égale à deux fois la racine de π.