Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La fonction racine carrée

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Première approche de la fonction racine carrée

La fonction racine carrée est une fonction de référence, dont l’étude est au programme de première ES et de première S. Cette page est d’ailleurs rédigée à leur attention. Mais on rencontre beaucoup plus souvent les racines carrées dans la filière scientifique que dans la filière économique.

Le symbole de la racine carrée est nommé le radical :

fonction racine

Résumons-nous. Cette fonction a pour ensemble de définition [0 ; + ∞[. Par définition :

fonction racine

Le sens de variation est assez évident à définir. Plus un nombre positif est grand, plus sa racine carrée l’est aussi. Du coup, le tableau de variation apparaît dans sa redoutable simplicité :

tableau de variation

Ci-dessous figure la courbe représentative, réalisée avec WxGéométrie. On constate facilement que la racine de 1 est 1, que celle de 4 est 2 et que celle de 9 est 3. C’est une demi-parabole. Remarquons aussi qu’entre 0 et 1, la racine carrée d’un nombre est supérieure à celui-ci.

racine carrée

Même si ce n’est pas au programme de première, il est bon de savoir pour bien préparer la terminale qu’une racine carrée est exactement la même chose qu’une puissance ½.

Note : la dérivation n'est pas traitée ici mais en page dérivation des fonctions de type racine carrée (niveau terminale S).

Exercices

1- Résoudre dans R+ :

exercice

2- Soit un coût unitaire en euros qui peut être modélisé par la fonction suivante (x représentant des kg produits) :

fonction de coût unitaire

La production minimale quotidienne est de 30 kg. Quelle production maximale doit être réalisée pour ne pas dépasser un coût unitaire de 100 € ?

Éléments de correction

1- Équation et inéquation

solution 1

S = {1 / 9}

solution 2

S = [4 / 25 ; + ∞[

2- Fonction

La production quotidienne ne doit pas dépasser 655 kg.

Exercices supplémentaires (plutôt destinés aux élèves de première S)

1- Démontrer que la fonction racine carrée est croissante.

Corrigé. Soit deux réels positifs a et b, avec a < b

Nous avons donc b – a > 0 et il nous faut prouver que f(b) – f(a) > 0.

Comme a et b sont positifs…

démonstration

Ainsi, l’astuce consistait à utiliser une identité remarquable. Le premier terme du produit est bien sûr positif puisque c’est la somme de deux nombres positifs. Et le second terme ? Il est forcément du même signe de (b – a), c’est-à-dire positif ! Nous avons bien démontré que f(b) – f(a) > 0

2- Soit la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ :

fonction

Réécrire f(x) sans radicaux au dénominateur (car il est habituel de ne pas laisser de radical au numérateur) puis en déduire, pour tout entier naturel n, à quoi est égal f(0) + f(1) + … + f(n).

Corrigé. Pour ôter les radicaux du dénominateur, on utilise la technique des quantités conjuguées (application d’une identité remarquable) :

simplification

À quoi est égale la somme des n premiers f(n) ?

somme

 

étude des racines

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés