La lecture graphique du produit scalaire

Produit scalaire et figures

Si vous êtes en classe de première générale et que vous avez choisi l’option maths, vous découvrez cette année le produit scalaire. L’un des premiers exercices qui vous est probablement demandé consiste à déterminer un produit scalaire à partir d’une figure. Décortiquons-en la résolution.

Ci-dessous, l’énoncé est toujours le même : déterminer le produit scalaire \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\)

 

Avec un angle connu

La figure qui vous est présentée indique la mesure d’un angle. Par exemple comme ceci :

exemple 1

Comme un angle est connu, on utilise la formule du cosinus. Empressons-nous de la rappeler.

\[\overrightarrow u .\overrightarrow v = \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow v } \| \times \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\]

Quel est le cosinus de 60° ? Votre calculatrice ou mieux, votre connaissance du cercle trigonométrique, vous permet d’affirmer qu’il s’agit de 0,5.

Donc \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\) \(= 5 × 6 × 0,5 = 15.\)

Attention, il se peut que l’angle ne soit pas donné directement mais que vous deviez le déduire d’une information. D’ailleurs, voici un autre exemple.

Précisons que \(A\) est le centre du cercle qui passe par les points \(B\) et \(C\) et que \([AB]\) est parallèle à \([DC].\)

exemple 2

Menons l’enquête. \(AB = 4.\) C’est donc le rayon du cercle et on en déduit que \(AC\) mesure aussi 4. De plus, si \([CD]\) est parallèle à \([BA]\), que l’angle \(\widehat {BAD}\) est droit et que les segments \([AD]\) et \([CD]\) ont même mesure, c’est que les points \(A,\) \(D\) et \(C\) sont trois sommets d’un même carré. Par conséquent, le mesure de \(\widehat {BAC}\) est la moitié de celle d’un angle droit, soit 45°.

Le cosinus d’un angle de 45° vaut \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\) Donc, d’après la formule du cosinus, \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\) \(= 4 × 4 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}\).

 

Mesures des 3 côtés

Si l’on connaît les mesures des trois côtés, on se tourne vers la formule \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)\) (voir l’exercice 2 de la page sur le produit scalaire et les distances).

exemple 3

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}(5^2 + 6^2 – 4^2)\) \(= 22,5.\)

 

Projection orthogonale

Ci-dessous, nous n’utilisons pas directement le vecteur \(\overrightarrow {AC}\) dont nous ignorons d’ailleurs la norme mais son projeté orthogonal sur \(\overrightarrow {AB}.\)

exemple 4

Nous avons \(\overrightarrow {AB} = 5.\) Donc \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2 × 5 = 10.\)

Dans le cas particulier d’un triangle isocèle, vous avez le choix entre cette méthode et la précédente.

exemple 5

Ici, la hauteur issue de \(B\) est aussi la médiatrice qui coupe \([AC]\) en son milieu. Donc \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 4 \times \frac{4}{2} = 8.\)

Mais on peut aussi reprendre la formule \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)\). En l’occurrence, \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + 4^2 - B{C^2}} \right)\) \(= \frac{1}{2} × 16\) \(= 8\) puisque \(AB^2 - BC^2 = 0\), quelles que soient leurs mesures.

 

Coordonnées de vecteurs

Si le triangle figure sur le quadrillage issu d’un repère orthonormé, tout devient très simple. Vous avez appris en classe de seconde à déterminer les coordonnées d’un vecteur.

exemple 6

Les coordonnées de \(\overrightarrow {AB}\) sont \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 3 \end{array}} \right)\) et celles de \(\overrightarrow {AC}\) sont \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right).\) Si vous ne savez plus comment calculer le produit scalaire, visitez la page sur le produit scalaire en géométrie analytique.

\((-2 × 3) + (3 × 1) = -3.\) Donc \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = -3.\)