Une suite d'intégrales

Exercice synthétique d'analyse (terminale S)

« Je vous parle d’un temps
Que les moins de vingt ans
Ne peuvent pas connaître… »

Ainsi chantait Charles Aznavour dans la Bohême. Ce temps-là, c’est celui où, en filière LITTÉRAIRE, les lycéens planchaient au bac sur… des suites d’intégrales !

Alors, à titre d’exercice, il peut être intéressant, pour les élèves de terminale S d’aujourd’hui, de présenter un extrait du sujet de 1985 (Étranger, groupe I, bac A)

Exercice

L’exercice a pour objet d’étudier la suite (In) définie pour tout entier naturel par les relations

I0, I1, ..., In

  1. Calculer I0 + I1 et I1. En déduire la valeur de I0.

  2. Calculer In + In+1 en fonction de n. En déduire les valeurs de I2 et I3.

  3. Comparer enx et e(n+1)x lorsque x ∈ [0 ; 1]. En déduire, sans essayer de calculer In, que la suite (In) est croissante.

  4. Montrer que, pour tout nombre x ∈ [0 ; 1],

    0,25 < 1/(1+ex)<=0,5

    En déduire un encadrement de In ; à cet effet, on calculera
  5. integrenx

    Quelle est la limite de la suite (In) ?

Corrigé

1) En raison de la propriété de linéarité de l’intégrale, nous pouvons écrire :

I0 + I1 = 1

Pour intégrer I1, nous devons trouver une primitive d’une fonction de type u’ / u. Donc cette primitive est une fonction composée d’une fonction logarithme.

I1 = ln((1+e)/2)

Si nous connaissons I0 + I1 et I1, il est facile de déterminer I0 par différence.

I0

I0

I0 = ln(2e/(1+e))

2) Pour tout entier naturel n

In + In+1

Factorisons par enx.

factorisation

Si n est différent de 0, une primitive de enx est enx / n.

=(en - 1)/n

Nous trouverons encore les valeurs de I par différence. En effet, en remplaçant n par 1 il apparaît que I2 + I1 = e – 1. Donc :

I2

Et en replaçant n par 2…

I2+I3 = (e² - 1)/2

Là encore, par différence…

I3

On peut chercher une écriture plus élégante.

I3

En factorisant le numérateur du premier terme par (e – 1) nous obtenons :

simplification

3) La fonction exponentielle étant strictement croissante, nous avons, pour tout entier naturel n et pour tout réel x compris entre 0 et 1 :

enx <= e(n+1)x

Note : l’inégalité est large car si x = 0 il y a égalité.

inéquation

Donc, sur l’intervalle [0 ; 1], In ≤  In+1.

4) Comme x [0 ;1], nous avons : 2 ≤ 1 + ex ≤ 1 + e.

Note : la première inégalité est en fait stricte mais nous nous conformons à l’énoncé.

Multiplions les membres par enx.

encadrement

encadrement intégrales

Nous avons déjà déterminé cette intégrale à la question 2. Pour tout n > 0…

encadrement In

En nous référant aux limites de fonctions exponentielles et aux propriétés des limites de suites :

limites