Fonctions de densité
La densité est une notion essentielle en statistiques et probabilités. Elle est enseignée en terminale générale, maths complémentaires. Comme vous devez absolument comprendre de quoi il s’agit, cette page vous la présente de façon très progressive de sorte que même si vous éprouviez un dégoût profond pour le sujet (ce qui n’est pas le cas, heureusement), vous le comprendriez quand même.
Lois discrètes ou continues
Vous savez ce qu’est une loi de probabilité, n’est-ce pas ? C’est l’association d'une probabilité à chaque issue possible d’une expérience aléatoire. Par exemple, on lance un dé (expérience aléatoire) et l’on s’intéresse à la variable aléatoire (v.a) « parité ». La probabilité d’obtenir un nombre pair est 0,5 (soit une chance sur deux) et celle d’obtenir un nombre impair est aussi de 0,5. Cette loi est discrète : il n’y a pas de continuité entre le fait d’être pair et celui d’être impair. Comme il n’existe pas énormément d’issues possibles (il n’y en a que deux), on peut représenter cette loi sous forme de tableau. C’est ce que vous savez faire depuis la seconde. S’il y a répétition du lancer de dé, on peut calculer la probabilité d’obtenir k nombres impairs grâce à la loi binomiale.
Mais on peut aussi s’intéresser à un caractère continu. Une v.a \(X\) définie sur un univers \(\Omega\) est continue lorsqu’elle peut prendre pour valeur TOUS les réels d’un intervalle. Par exemple, la taille des habitants d’une ville. Bien sûr, la taille ne sera pas mesurée de façon réellement continue ; on ne descend pas au-dessous du millimètre. Mais on raisonnera comme si la mesure elle-même est continue parce qu’elle est tout de même assez fine.
Cette continuité pose un problème : on ne peut pas établir la probabilité de mesurer une taille précise, par exemple 175 cm. Bien sûr, si l’on s’en tient à une précision de l’ordre du millimètre, on peut arrondir une taille à 175 cm mais si l’on considère un continuum, c’est-à-dire une infinité de décimales pour chaque habitant, donc une infinité de tailles possibles, la probabilité de mesurer exactement 175 cm est… nulle.
En revanche, on peut tout fait déterminer le nombre d’habitants qui se situent dans un intervalle de tailles, par exemple \([160\,; 180],\) et donc estimer la probabilité pour qu’un habitant choisi au hasard mesure entre 160 et 180 cm.
Représentations
Représentons graphiquement les lois de probabilité. La loi discrète peut l’être par un graphique en barres ou, s’il s’agit d’un phénomène continu mesuré par des tranches aux amplitudes éventuellement différentes, par un histogramme. La somme des tailles des barres est égale à 1, comme dans le graphe ci-dessous, puisque la somme des probabilités d’une loi est toujours égale à 1.
Une loi continue sera évidemment représentée par une courbe, elle-même représentant une infinité de barres collées les unes aux autres. Ci-dessous, une courbe réalisée avec SineQuaNon montre une loi de probabilité compatible avec notre exemple de tailles d’individus. Cette fois, c’est l’aire représentée en rose qui vaut 1.
Cette aire indique la densité de probabilité. La courbe est représentative d’une fonction de densité. Visitez aussi la page sur les propriétés de la loi uniforme...
En d'autres termes, la somme d'une infinité de probabilités nulles est égale à 1. Oui, c'est étrange mais c'est ainsi !
Densité
Pour qu’une fonction soit une densité, elle doit remplir trois critères :
1- Elle doit être positive. Il est évident qu’une probabilité ne peut être négative. Ci-dessus, la courbe ne s’aventure pas sous l’axe des abscisses.
2- Elle doit être continue, par définition.
3- L’aire délimitée par sa courbe représentative et par l’axe des abscisses doit être égale à 1 puisque la somme des probabilités d’une loi est égale à 1.
Si vous étudiez les lois de probabilité continues, c’est que vous avez déjà étudié les intégrales. Par conséquent, vous savez comment vérifier ce troisième point.
Visuellement, vous pouvez estimer la probabilité pour les habitants d’une ville qu'ils mesurent entre 160 et 180 cm :
Formalisons…
Soit une loi de probabilité continue. Autrement dit, l’univers \(Ω\) est un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}.\) Nommons \(a\) et \(b\) les bornes de cet intervalle (réels ou infini) avec \(a < b.\) Une densité de probabilité est une fonction \(f\) définie sur \(I,\) continue et positive telle que :
\(E(X) = \displaystyle{\int_{a}^{b} {f(x)dx = 1}}\)
Soit un intervalle \(I’\) de \(I.\) Soit \(a’\) et \(b’\) les bornes de cet intervalle (réels ou infini). Une v.a \(X\) suit une loi de probabilité de densité \(f\) sur \(I\) si pour tout intervalle \(I’\) on a :
\(\displaystyle{P(X \in I') = \int_{a'}^{b'} {xf(x)dx}}\)
\(X\) est une v.a continue. La probabilité sera souvent notée \(P(a’ < X < b’).\)
Dans l’intervalle \(I,\) l’espérance de la v.a continue \(X\) dont la densité est la fonction \(f\) est :
\(\displaystyle{E(X) = {\int_{a}^{b} {xf(x)dx}}}\)
D’ailleurs, cette formule est assez évidente quand on y réfléchit.
Remarque
La probabilité d’obtenir une valeur précise est nulle. On ne peut déterminer une probabilité non nulle que sur un intervalle \([a \,; b]\) avec \(a < b.\) Plus formellement :
\(P(X = a)\) \(=\) \(\displaystyle{{\int_{a}^{a} {f(x)dx}}}\) \(=\) \(0\)
Il s’ensuit qu’il est rigoureusement identique d’écrire \(P(a < X < b)\) ou \(P(a \leqslant X \leqslant b).\)
Voir aussi les exercices sur la densité.
