Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les propriétés de la loi uniforme

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Présentation de la loi uniforme (niveau terminale)

Dans sa version à densité, la loi uniforme est la première loi de probabilité à être enseignée (en terminale pour les filières générales). Après l’indispensable définition, nous étudierons ses propriétés.

Note : cette page s’adresse principalement aux élèves de terminale ES et de terminale S, ainsi qu’aux étudiants. Pour les professionnels, voir plutôt la page loi uniforme.

Définition

Soit un univers des possibles Ω, intervalle de R, et a et b deux réels tels que a < b.

On appelle loi uniforme sur [a ; b] la loi de probabilité dont la densité f est la fonction constante définie par :

densité

Représentation :

densité

Fonction de répartition

La fonction de répartition F est définie par :

répartition

Représentation :

répartition

Espérance

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a ; b] dont la fonction de densité est f. Son espérance est définie par :

espérance

Montrons que E(X) peut s’écrire de façon plus simple.

E(X)

Il n’est pas trop difficile de trouver une primitive

E(X)

Pour simplifier cette expression, détectons la belle identité remarquable du numérateur…

E(X)

C’est donc tout simplement la moyenne des deux bornes de l’intervalle…

Calculs de probabilités

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0 ; 4].

Calculons P(X = 2), P(2 < X < 3) et E(X).

Comme la loi est continue, la probabilité d’obtenir une valeur précise est, par définition, nulle. Donc P(X = 2) = 0.

Nous allons déterminer P(2 < X < 3) de deux façons.

Premièrement par la densité : P(2 < X < 3) = ¼(3 – 2) = 0,25.

Deuxièmement par la fonction de répartition :

fonction de répartition

Notez que si les inégalités sont larges, le résultat est fort logiquement le même : P(2 ≤ X ≤ 3) = 0,25.

Enfin, l’espérance est très simple à calculer :

E(X)=2

Le résultat est d’ailleurs assez intuitif…

Hasard

La loi uniforme modélise les tirages au hasard. Par exemple, si un ordinateur choisit un nombre de façon aléatoire entre 0 et 1, la probabilité que celui-ci soit compris entre 0,3 et 0,5 est égale à 0,5 – 0,3, soit 0,2.

 

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