Les lois discrètes

Lois de probabilité discrètes

Certaines lois de probabilités discrètes sont enseignées avant leurs consœurs continues. De quoi s’agit-il ? Cette page, qui présente ce type d’outil, a été rédigée pour des élèves de terminale générale (option maths complémentaires) ; mais bien sûr, quiconque souhaite se plonger dans les statistiques peut y trouver son bonheur.

 

Un peu de discrétion

Pour le dictionnaire Littré, ce qui est discret est « séparé, mis à part ». Donc, en maths, il s’agit d’une « quantité qui se compte en parties séparées ». Par exemple, dans un tableau statistique, les classes sont séparées en colonnes. C’est la définition originelle du terme et le « discret » tel que nous l’entendons dans la vie courante est un sens figuré.

Une loi de probabilité non discrète n’est donc pas bruyante mais continue (synonyme : à densité). D’ailleurs, vous avez rencontré cette dualité en maths : une fonction \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) est continue tandis qu’une suite \((u_n)\) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\) est discrète.

 

Des lois ad hoc

Vous les connaissez déjà (voir par exemple la page d’initiation aux lois de probabilité). Une variable aléatoire (v.a) discrète peut prendre un certain nombre de valeurs et à chacune d’elles est associée une probabilité. Ces lois de probabilités sont représentées sous forme de tableaux à deux lignes.

On peut facilement calculer une espérance et un écart-type.

Toutefois, en pratique, on ne se réfère que rarement à une loi exprimée sous forme de tableau. Les phénomènes aléatoires sont souvent modélisables par certaines lois qui s’appliquent à des problématiques bien spécifiques. Au lycée, on en étudie plusieurs.

 

La loi uniforme

La loi de probabilité discrète la plus simple à comprendre et à appliquer est la loi uniforme (il en existe aussi une version continue). C’est celle de l’équiprobabilité. Bien sûr, on peut aussi la présenter sous forme de tableau mais l’intérêt de l’opération est plutôt limité.

Soit \(n\) le nombre d’évènements possibles. La variable aléatoire \(X\) suit la loi uniforme sur \({1,2,…,n}\) si \(X\) prend toutes les valeurs entières de 1 à \(n\) avec une même probabilité de \(\frac{1}{n}.\)

La cas typique est celui du lancer de dé non truqué.

L’espérance est \(E(X) = \frac{n+1}{2}\)

Démonstration

\(E(X) = \frac{1}{n} × 1 +  \frac{1}{n} × 2 + … \frac{1}{n} × n\)
\(⇔ E(X) = \frac{1}{n} (1 + 2+ … + n)\)

Or, \(1+2+…+n = \frac{n(n+1)}{2}.\) En principe vous le savez puisque la démonstration est au programme de première. Si vous êtes sceptique, vous la trouverez en page de démonstrations sur les suites.

Reprenons. \(E(X) = \frac{1}{n} × \frac{n(n+1)}{2}\) \(=\) \(\frac{n + 1}{2}\)

Exemple

Gaston possède 100 timbres de collection dans un album. Les emplacements sont numérotés de 1 à 100. Il en prend un au hasard. Quelle est la probabilité qu’il tombe sur le premier ? Et sur le dernier ?

Réponse : \(n = 100\) donc si le tirage est parfaitement aléatoire, la loi suivie est uniforme et la probabilité que Gaston choisisse le premier timbre s’établit à \(\frac{1}{100}\). La probabilité qu’il tombe sur le dernier est la même.

Comment l’écrire ? Soit \(X\) le numéro de l’emplacement du timbre. \(P(X = 1) = \frac{1}{100}\)

Gaston reproduit l’expérience des milliers de fois (décidément, il n’a rien de mieux à faire !). Quel devrait être le numéro moyen ?

Nous cherchons l’espérance de \(X.\)

\(E(X) = \frac{101}{22} = 50,5.\)

Quelle est la probabilité que le timbre se situe entre les emplacements 10 et 20 inclus ?

Si 10 et 20 sont inclus, il y a 11 emplacements possibles sur 100. Donc \(P(10 \leqslant X \leqslant 20) = \frac{11}{100}\)

 

La loi de Bernoulli

Il y a deux issues mais pas forcément équiprobabilité (épreuve de Bernoulli). Les deux possibilités sont le succès (\(x_i = 1\)) et l’échec (\(x_i = 0\)). Davantage de précisions en page de lois binomiale et de Bernoulli.

Présentée sous forme de tableau, la loi de Bernoulli n’offre que quatre cases. Soit \(p\) la probabilité de succès. Il est évident que \(E(X) = p.\) Si l’on a une chance sur quatre de tirer un trèfle dans un jeu de cartes, alors l’espérance est de \({1}{4}.\)

\(E(X) = 0 × (1 - p) + 1 × p = p\)

Moins évidente est la variance : \(V(X) = p(1 - p)\)

Démontrons-le.

\(V(X) = (0 - p)^2 × (1 - p) + (1 - p)^2 × p\)
\(⇔ V(X) = p^2(1 - p) + p(1 - p)^2\)

Factorisons par \(p(1 - p).\)

\(V(X) = p(1 - p)(p + 1 - p)\)
\(V(X) = p(1 - p)\)

Bien sûr, l’écart-type est \(σ(X) = \sqrt{p(1 - p)}\)

Exemple : on lance un dé et on a gagné si l’on obtient 5 ou 6. Sinon on a perdu. S’agit-il d’une loi de Bernoulli ?

Oui. Le dé a certes six faces mais le jeu n’a que deux issues (gagné ou perdu). Par conséquent, c’est bien une loi de Bernoulli et \(p = \frac{1}{3}.\)

 

Loi binomiale, loi géométrique

Voir la page sur la loi binomiale. Il s’agit de la loi que suit une v.a donnant le nombre de succès associés à la répétition d’une loi de Bernoulli, chaque fois dans les mêmes conditions. Si celles-ci diffèrent (tirages sans remise), la v.a suit une loi hypergéométrique.

La loi binomiale est au programme de terminale générale (maths complémentaires et de spécialité) et des terminales technologiques.

La loi géométrique est au programme de terminale générale maths complémentaires alors qu’elle est seulement un prolongement facultatif en spécialité maths. On l’utilise lorsqu’on cherche la probabilité d’un premier succès, toujours dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.

La loi de Pascal, également discrète mais rarement employée, vise à trouver la probabilité associée à \(n\) tirages pour obtenir \(k\) succès. Elle n'est pas étudiée dans le secondaire.

 

La loi de Poisson

La loi de Poisson modélise les évènements rares. Elle est très utilisée par les statisticiens et abordée en terminale (maths de spécialité), sans être approfondie outre mesure.