Exercices sur lois de probabilités continues
Quelques exercices sur la densité, de niveau terminale, avec lesquels vous pouvez vous entraîner sans nécessairement connaître les lois de probabilités continues que sont la loi normale ou même la loi uniforme…
Bonne concentration !
Exercice 1
La courbe ci-dessous peut-elle représenter une fonction de densité ?
Exercice 2
A- Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = -0,75x^2 + 0,75\) sur l'intervalle \(I = [-1\,; 1].\) Montrer qu’il s’agit d’une fonction de densité.
B- Soit \(X\) une variable aléatoire de densité \(f.\) Calculer la probabilité de l’évènement \(\{0 < X < 0,5\}.\)
Exercice 3
Soit la fonction suivante, où \(λ\) est un réel strictement positif :
\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\;\rm{si}\;x < 0}\\ {\lambda e^{- \lambda x}\;\rm{si}\; x \geqslant 0} \end{array}} \right.\)
Démontrer qu’il s’agit d’une densité de probabilité.
Corrigé 1
Cette courbe représente une fonction positive et continue.
Son maximum a pour coordonnées \((2\,;0,5).\) Sur l’intervalle \([1 \,; 2],\) la courbe forme avec l’axe des abscisses un triangle dont l’aire est égale à \(\frac{1 \times 0,5}{2} = 0,25.\) Sur l’intervalle \([2\,; 3]\) elle forme un triangle de même aire. L’aire sous courbe est donc égale à 0,5.
Par conséquent ce n'est pas une fonction de densité.
Corrigé commenté 2
A1- \(f(x) = 0,75(1 - x^2).\) Donc le signe de \(f\) est celui de \((1 - x^2).\) Vous saviez déjà le déterminer en classe de seconde, soit en factorisant (identité remarquable), soit directement. \(f\) est nulle pour x = -1 et x = 1 et positive entre ces valeurs (négative partout ailleurs). Donc \(f\) est bien positive sur \(I.\)
A2- \(f\) est une fonction polynomiale de degré 2. Elle est donc continue sur \(\mathbb{R}\).
A3- Intégrons. Pour cela, il faut déterminer une primitive.
\(\displaystyle{\int_{-1}^{1} {\left(-\frac{3}{4} x^2 + \frac{3}{4} \right)dx}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{3}{4} \left[x - \frac{x^3}{3}\right ]_{-1}^{1}}\)
Ainsi \(\frac{3}{4} \left[(1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) \right]\) \(=\) \(\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}\) \(=\) \(1\)
Par conséquent, \(f\) est indiscutablement une fonction de densité !
B- Nous cherchons \(P(0 < X < 0,5).\)
\(\displaystyle{\int_{0}^{0,5} {\left(-\frac{3}{4} x^2 + \frac{3}{4} \right)dx}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{3}{4} \left[x - \frac{x^3}{3}\right ]_{0}^{0,5}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{3}{4} \left(0,5 - \frac{0,5^3}{3} \right)}\) \(=\) \(0,34375\)
Si vous avez un moment, profitez-en pour vérifier ce résultat sur calculatrice (ici, une TI-82) ...
Corrigé commenté 3
Étape 1 : montrons que \(f\) est positive.
Pour tout réel \(x,\) la fonction exponentielle est strictement positive. Comme \(λ > 0,\) alors \(f > 0.\)
Étape 2 : montrons qu’elle est continue.
Lorsque \(x < 0,\) \(f\) est une fonction constante, donc continue. Lorsque \(x \geqslant 0,\) \(f\) est une composée de deux fonctions : une linéaire (d'expression \(-λx\)) et une exponentielle, toutes deux continues. De plus, \(f(0) = 0.\) Donc \(f\) est continue en 0. Il s'ensuit que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}.\)
Étape 3 : intégrons !
Dans un premier temps, nous intégrerons \(f\) entre 0 et un réel \(x > 0.\) Lorsque \(x < 0,\) il est évident que l’intégrale est nulle.
\(\displaystyle{\int_{0}^{x} {f(x)dx}}\) \(=\) \(\displaystyle{\lambda {\int_{0}^{x}} e^{- \lambda x} dx}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \int_{0}^{x} {f(x)dx}}\) \(=\) \(\displaystyle{\lambda \left[- \frac{1}{\lambda} e^{- \lambda x} \right]_{0}^{x}}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \int_{0}^{x} {f(x)dx}}\) \(=\) \(\displaystyle{\lambda \left(- \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda} + \frac{1}{\lambda} \right)}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \int_{0}^{x} {f(x)dx}}\) \(=\) \(- e^{- \lambda x} + 1\)
Dans un second temps, nous examinons le cas ou \(x\) tend vers l’infini.
Nous avons une composition de limites. Rappelons que \(λ > 0.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }- \lambda x = - \infty\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } e^x = 0\)
Par composition : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } e^{- \lambda x} = 0\)
Par conséquent :
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int_0^x \lambda e^{- \lambda x} dt = 1}\)
L’aire délimitée par la courbe représentative de \(f\) et par l’axe des abscisses est égale à 1.
Les trois conditions sont remplies. La fonction \(f\) est bien une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}.\)
Remarque : il s'agit de la densité de la loi exponentielle.
