Principe de la loi binomiale
Cette page permet d’aborder la loi binomiale tranquillement, sans formule.
Présentation
Vous savez déjà ce qu’est un schéma de Bernoulli ? Oui, c’est ça : la répétition d’expériences aléatoires n’ayant que deux issues possibles (succès ou échec) identiques et indépendantes. La loi binomiale est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire associée au nombre de succès d’un schéma de Bernoulli. Grâce à elle, il est facile de connaître la probabilité d’avoir \(k\) succès au cours de la répétition d’expériences.
Deux paramètres permettent de définir une loi binomiale : le nombre d’épreuves \(n\) et la probabilité de succès \(p.\) Cette loi est notée \(\mathscr{B}(n,p).\)
L’espérance mathématique vaut \(np.\) Ceci est d’ailleurs évident. Si l’on a une chance sur deux d’obtenir face au lancer d’une pièce, donc \(p = 0,5\) et que la pièce est lancée dix fois, donc \(n = 10,\) alors on obtient en moyenne \(0,5 × 10 = 5\) fois face.
Jusqu’à \(n = 4,\) il est possible d’utiliser un arbre pondéré. Au-delà, l’arbre est décidément trop grand ! Il vaut mieux utiliser soit une calculatrice (voir la loi binomiale à la calculatrice) soit un tableur.
Dans un exercice, la première étape est de s’assurer que l’on a bien affaire à une loi binomiale. Il faut vérifier que les probabilités seront bien les mêmes tout au long des expériences. Supposons qu’une urne opaque contienne des boules de deux couleurs possibles (pour des raisons qui me sont totalement incompréhensibles, les urnes des exercices de probabilité ne contiennent pas des bulletins de vote mais des boules, qui parviennent mystérieusement à passer par la fente de l’urne. Passons). Si l’on remet la première boule extraite dans l’urne avant de tirer la deuxième, les probabilités du second tirage restent les mêmes que lors du premier. On parle de tirage avec remise. La loi binomiale pourra être utilisée. En revanche, si la première boule tirée n’est pas replacée dans l’urne avant le second tirage, les probabilités affectées à ce deuxième tirage en seront toutes chamboulées puisqu’il y a une boule de moins. Ce n’est pas un schéma de Bernoulli.
Une deuxième difficulté (très légère !) est de maîtriser les notions de succès et d’échec. S’il y a des boules jaunes, des noires et des rouges et que l’on s’intéresse aux probabilités d’obtenir des jaunes, il faut raisonner en jaunes et non-jaunes. Les noires et les rouges sont considérées exactement de la même façon. C’est juste un piège qui a été posé pour savoir si vous tomberez dedans.
Dans un arbre pondéré, le nombre de niveaux est le nombre de tirages successifs. Si l’arbre décrit un schéma de Bernoulli, chaque nœud se sépare en deux branches, affectées de probabilités dont la somme vaut 1. Ce sont toujours les mêmes probabilités, par exemple 0,2 et 0,8 ou encore 0,25 et 0,75… Une fois l’arbre dessiné, il suffit de compter les évènements cherchés.
Exemple
Soit un jeu de cartes complet. Si l’on tire une carte au hasard, il y a une chance sur quatre pour que ce soit un trèfle (donc une probabilité de 0,25). Si l’on remet la carte dans le jeu pour procéder à un deuxième tirage, il ya encore une chance sur quatre pour que ce soit un trèfle. Supposons quatre tirages successifs avec remise. On s’attache au nombre de trèfles obtenus. Un tirage de trèfle est donc assimilé à un succès \(S\) et un tirage de non-trèfle à un échec (\(\overline{S}\) avec une barre au-dessus). Cherchons la probabilité d’obtenir trois trèfles sur les quatre cartes tirées. Les branches qui satisfont au critère sont en rouge (réalisation avec WxGéométrie) :
Il y a quatre possibilités d’obtenir exactement trois trèfles. Chacune d’elles a une probabilité de \(0,25^3 × 0,75\) \(=\) \(0,0117\) environ. On la multiplie par 4 puisqu’il y a quatre possibilités et on obtient 0,046875. La probabilité d’obtenir exactement trois trèfles s’établit à 0,047 environ. Notez que dans cet exemple, nous connaissions directement les probabilités et par conséquent l’effectif n’avait aucune importance. L’exemple est donc valable aussi bien pour un jeu de 32 cartes que pour un jeu de 52 cartes.
Tableur
L’utilisation d’un tableur est très pratique pour connaître une probabilité associée à une variable aléatoire qui suit une loi binomiale. Reprenons notre exemple. Comme il s’agit d’une suite d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, nous pouvons utiliser la loi binomiale. Ses paramètres sont \(p = 0,25\) et \(n = 4\) (nombre de tirages). La loi suivie est donc \(\mathscr{B}(0,25\, ; 4).\) Nous cherchons \(P(X = 3).\) Une seule cellule de la feuille de calcul suffit. Entrons la formule suivante :
Il faut séparer avec des points virgules les nombres correspondant à \(k\) (le nombre de succès voulu), \(n\) (le nombre total de tirages, qui est aussi le nombre maximum de succès possible) et \(p\) (probabilité de succès).
Voir aussi la loi binomiale avec Excel pour une meilleure maîtrise du sujet.
Espérance
Question subsidiaire : quelle est l’espérance mathématique de cette loi ? Facile : \(np = 4 × 0,25 = 1.\) En d’autres termes, lorsqu’on tire quatre cartes d’un jeu (avec remise) et que l’on répète ce quadruple tirage un grand nombre de fois, on obtient en moyenne un trèfle par quadruple tirage (on s’en serait douté puisqu’une carte sur quatre est un trèfle).
Exercice
On sait qu’un lot de clés USB comprend \(1\%\) de pièces défectueuses. On en tire 40 au hasard. Même si l’on ne remet pas dans le lot les clés contrôlées, on considère qu’il y en a tellement que l’on peut approcher l’expérience par un tirage avec remise (pour ne pas se compliquer la vie). Quelle est la probabilité d’obtenir dix pièces défectueuses exactement ?
Éléments de correction
Il est évidemment impossible de tracer l’arbre pondéré puisqu’il aurait \(2^{40}\) branches, c’est-à-dire plus d’un billion. L’utilisation d’Excel nous permettra de trouver en quelques secondes le résultat qu’il aurait été impossible d’obtenir avec l’arbre, même en y consacrant toute une vie.
Nous voulons compter le nombre de succès d’une suite d’expériences aléatoires identiques et indépendantes à deux issues. La loi suivie est \(\mathscr{B}(0,01\,; 40).\)
\(P(X = 10)\) \(=\) \(0,00000000000627\) ce qui est bien peu…
