La formule de Héron

Aire du triangle

Héron d’Alexandrie fait partie de ces mathématiciens mystérieux, comme avant lui Euclide et après lui Diophante. Cette page est consacrée à sa célèbre formule qui permet de calculer l’aire de n’importe quel triangle du moment que l’on connaît les mesures de ses côtés. Mais d’abord, qui était Héron ?

 

Héron

Héron serait né au premier siècle en Égypte, qui était alors une province romaine (pour vous situer, c’est à peu près 700 ans après Thalès). Il a vécu à Alexandrie, capitale mondiale du savoir à cette époque. Nous n'en avons aucun portrait et nous ne savons presque rien de sa vie.

Il a été un inventeur hors pair. Bref aperçu sur Wikipedia :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Héron_d’Alexandrie

Mais Héron d’Alexandrie est aussi resté célèbre pour sa formule qui permet de calculer l’aire d’un triangle à partir des longueurs de ses côtés. Donc, pas besoin de connaître ni une hauteur (formule classique enseignée au collège) ni la mesure d’un angle (voir la loi des sinus).

 

La formule

Soit \(a,\) \(b\) et \(c\) les longueurs des côtés d’un triangle.

Par commodité, nous introduisons \(s\) qui est le demi-périmètre du triangle.

Donc, \(s = \frac{a + b + c}{2}\)

L’aire du triangle est :

\[\mathscr{A} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\]

 

Démonstration

La démonstration qui suit n’est pas celle de Héron, qui était beaucoup plus « géométrique ».

Soit un triangle \(ABC\) et \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A.\)

Par commodité, posons \(AB = c,\) \(BC = a,\) \(AC = b,\) \(AH = h\) et \(HC = d.\)

Nous sommes en présence deux triangles rectangles, \(ABH\) et \(ACH.\)

Donc \(c^2 = (a - d)^2 + h^2\) et \(b^2 = h^2 + d^2.\)

\(\Leftrightarrow -(a - d)^2 + c^2 = b^2 - d^2\)

Développons l’identité remarquable.

\(-a^2 + 2ad - d^2 + c^2 = b^2 - d^2\)
\(\Leftrightarrow -a^2 + 2ad + c^2 = b^2\)

Nous pouvons donc exprimer \(d\) ainsi :

\(2ad = b^2 + a^2 - c^2\)
\(⇔ d = \frac{b^2 + a^2 - c^2}{2a}\)

Nous pouvons aussi exprimer \(h^2\) ainsi :

\(h^2 = b^2 - \left( \frac{b^2 + a^2 - c^2}{2a} \right)^2\)
\(⇔ h^2 = b^2 - \frac{(b^2 + a^2 - c^2)^2}{4a^2}\)
\(⇔ h^2 = \frac{4a^2b^2}{4a^2} - \frac{(b^2 + a^2 - c^2)^2}{4a^2}\)
\(⇔ 4a^2h^2 = 4a^2b^2 - (b^2 + a^2 - c^2)^2\)

Le membre de droite peut se factoriser (identité remarquable).

\(4a^2h^2\) \(=\) \([2ab - (b^2 + a^2 - c^2)][2ab + (b^2 + a^2 - c^2)]\)
\(\Leftrightarrow 4a^2h^2\) \(=\) \((2ab - b^2 - a^2 + c^2)(2ab + b^2 + a^2 - c^2)\)

Et à nouveau des factorisations…

\(4a^2h^2\) \(=\) \([c^2 - (b - a)^2][(a + b)^2 - c^2]\)

Encore et toujours des identités remarquables !

\(4a^2h^2\) \(=\) \((c-b+a)(c+b-a)(a+b-c)(a+b+c)\)

Il est temps de réintroduire \(s.\) Nous en profitons pour réordonner les facteurs.

\(4a^2h^2\) \(=\) \(2s(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)\)

Et comme chacun des quatre facteurs peut être divisé par 2, on divise le tout par 16.

\(\frac{a^2h^2}{4} = s(s-c)(s-b)(s-a)\)

Rappelons que l’aire d’un triangle est égale à la moitié de sa base par sa hauteur.

\(\mathscr{A} = \frac{ah}{2}\)

Donc \(\mathscr{A}^2 = s(s-c)(s-b)(s-a)\)

\(⇔ \mathscr{A} = \sqrt{ s(s-c)(s-b)(s-a)}\)

 

Python

Proposition de programme en langage Python permettant d’obtenir une valeur approchée :

from math import sqrt

a = float(input('longueur du 1er côté : ' ))
b = float(input('longueur du 2ème côté : ' ))
c = float(input('longueur du 3ème côté : ' ))
s = (a + b + c)/2

aire = sqrt(s*(s-c)*(s-b)*(s-a))

print ("L'aire est : ", aire)

Par exemple, en entrant les valeurs 10, 8 et 4 on obtient environ 15,19868415. Un calcul manuel donne la valeur exacte, soit \(\sqrt{231}.\) Si l'on entre des valeurs impossibles, par exemple 4, 4 et 10, un message d’erreur s’affiche puisque les calculs conduisent à une racine carrée négative.