Vocabulaire de la topologie
En économie, les problèmes d’optimisation et notamment ceux qui se fondent sur l’utilisation de fonctions à deux variables requièrent un certain bagage mathématique. Celui-ci comprend des notions de topologie, notamment pour reconnaître la nature des ensembles de définition. Certaines de ces notions sont assez simples à saisir et sont connues par les lycéens (sans toutefois qu’ils fassent le lien avec des concepts qu’ils découvriront pour certains à bac + 3). D’autres sont beaucoup plus difficiles à saisir intellectuellement. Cette page, l’une des plus abstraites proposées par ce site web, est une introduction à ces notions aux noms parfois étranges…
Une branche des mathématiques
La topologie est une branche des mathématiques qui étudie les déformations indépendamment des grandeurs. « La géométrie s'intéresse à des notions comme la position absolue d'un point, la distance ou le parallélisme, qui changent avec la forme de l'espace considéré. À l'opposé, la topologie étudie des notions telles que les positions relatives des objets, ou leurs formes générales. » ("topologie." Microsoft® Encarta® 2007 [CD]. Microsoft Corporation, 2006). Le terme est dû à Johann Listing, élève de Gauss.
Ainsi, la théorie des graphes est étroitement liée à la topologie. L’emplacement « physique » des sommets d’un graphe n’a aucune importance. Seules comptent les liaisons entre eux.
Espaces et structures
La notion d’espace topologique est plus large que celle d’espace métrique puisqu’elle ne fait pas intervenir les distances. A contrario, toute métrique peut se traduire par une topologie. C’est pourquoi \(\mathbb{R}^n,\) espace métrique bien connu, possède des propriétés qui peuvent être décrites par la topologie.
Un espace topologique n’est pas non plus un espace vectoriel, encore que ce dernier puisse tout à fait être muni d’une structure topologique. Ainsi, les fonctions numériques font partie d’espaces vectoriels topologiques.
Qu’appelle-t-on structure topologique d’un ensemble \(E\) ? C’est un ensemble d’éléments nommés « ouverts », métrisables ou non.
Un ensemble ouvert ne possède aucun point sur sa frontière. Exemples : un intervalle ouvert \(]a\,;b[\) et une droite (par définition infinie) sont deux ouverts, le premier sur \(\mathbb{R}\) et le second sur \(\mathbb{R}^2.\) Un demi-plan défini par une inégalité stricte est lui aussi un ensemble ouvert de \(\mathbb{R}^2.\) Toute réunion et toute intersection finie d’ouverts est un ouvert. L’ensemble topologique et l’ensemble vide sont aussi des ouverts.
Le voisinage d’un point \(X\) est un sous-ensemble de \(E\) qui contient un ouvert qui lui-même contient \(X.\) Un voisinage n’est pas nécessairement ouvert. La notion d’ouvert est plus générale que celle de boule ouverte, réservée aux espaces métriques. Si quels que soient deux points de \(E,\) l’intersection de leurs voisinages est vide, alors \(E\) est séparé.
Le complémentaire d’un ouvert est un fermé. Toute intersection et toute union de fermés sont des fermés. La fermeture d’un sous-ensemble \(A\) est le plus petit fermé qui contient \(A.\) On le note avec une barre au-dessus. Un point est adhérent à \(A\) si son voisinage contient un point de \(A.\) L’adhérence de \(A\) est donc sa fermeture, c’est-à-dire la réunion de celui-ci et de sa frontière. Autrement dit, un sous-ensemble n’est fermé que s’il est égal à son adhérence.
L’ensemble \(E\) (espace topologique) et l’ensemble vide sont à la fois des ouverts et des fermés.
Un sous-ensemble fermé et borné est un compact. Exemples : un cercle est un compact dans \(\mathbb{R}^2,\) une sphère est un compact dans \(\mathbb{R}^3.\)
L’intérieur du sous-ensemble \(A\) est le plus grand ouvert contenu dans \(A.\) Il est souvent noté \(\mathring{A}.\)
La frontière du sous-ensemble \(A\) est fort logiquement la différence entre la fermeture et l’intérieur.
Il existe plusieurs façon de définir la continuité en un point d’une application d’un espace topologique dans un autre (ou dans lui-même), notamment à partir de la limite d’une suite de points.
Un espace topologique est connexe s’il est d’un seul tenant. Par exemple, sur \(\mathbb{R},\) un intervalle est connexe. Ci-dessous, l’ensemble bleu est connexe tandis que le rouge ne l’est pas.
Une application est connexe si elle est continue sur un ensemble connexe.
Un espace est convexe si tous les points situés entre deux points de cet espace font eux aussi partie de cet espace. Cette notion est d'ailleurs abordée dès la classe de seconde (voir page solides). Sinon, il est concave. Pour prendre quelques images, un disque ou un cube sont convexes tandis qu’une étoile ou un visage humain sont concaves !
Topologie de \(\mathbb{R}^n\)
\(\mathbb{R}^n\) est un espace topologique séparé qui est aussi un espace métrique puisqu’il est évidemment muni d’une distance. Tel ou tel type de distance induit une topologie particulière.
Il est donc possible d’y définir des boules, ouvertes ou fermées, qui apparaissent comme les généralisations de banals intervalles sur \(\mathbb{R}\) aux vastes espaces à n dimensions. Tout ouvert ou fermé n’est pas nécessairement une boule. Un demi-plan est un ouvert ou un fermé sur \(\mathbb{R}^2\) (selon qu’il est défini par une inégalité stricte ou large).
Un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^n\) est borné s’il peut être inclus dans une boule fermée. Par exemple, une sphère est une boule fermée sur \(\mathbb{R}^3.\) Selon le théorème de Weierstrass (ou théorème des bornes), toute application \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\) continue sur un sous-ensemble compact non vide \(E\) de \(\mathbb{R}^n\) atteint sur \(E\) sa borne supérieure et sa borne inférieure.
Une boule est toujours convexe. Une combinaison convexe de points sur \(\mathbb{R}^n\) est une combinaison linéaire à coefficients supérieurs ou égaux à 0 et de somme égale à 1.
Un produit de sous-ensembles convexes est lui aussi convexe.
Certains convexes sont des cas particuliers. En gestion, le plus connu est le simplexe, utilisé en programmation linéaire. Il s’agit du sous-ensemble de \(\mathbb{R}^n\) dont la somme des coordonnées est égale à 1. Mentionnons aussi le cône convexe, de sommet \(O.\) Tous les points de \(E\) et tous ceux qui se situent entre \(O\) et \(E\) sont inclus dans \(E.\)
Un système d’inéquations linéaires se traduit toujours par un ensemble de solutions convexes (voir une illustration simple en page régionnement du plan).
Dans \(\mathbb{R}^n,\) c’est un hyperplan qui sépare deux convexes. Si celui-ci contient un ou plusieurs points de l’un d’eux, il est un hyperplan d’appui. Par exemple, une droite qui est tangente à un cercle est pour ce dernier un hyperplan d’appui. Il existe toujours au moins un hyperplan qui sépare deux convexes disjoints.
Un point est extrêmal d’un convexe à la double condition d'en faire partie et si tout segment de droite qui part de ce point ne contient aucun autre point du convexe. Par exemple, tous les points d’angle d’une figure telle qu’un triangle, un hexagone ou toute autre forme géométrique convexe est un point extrêmal. Idem pour tous les points situés à la périphérie d’un disque. En toute logique, un hyperplan d’appui contient au moins un point extrêmal.
Ces notions sont importantes. Elles généralisent aux espaces à \(n\) dimensions les recherches d’optimum sur les fonctions. Il faut alors essayer d’imaginer des tangentes en \(n - 1\) dimensions !
