Solides, volumes, perspective cavalière, patrons
Cette page est une introduction à la géométrie en trois dimensions, notamment à travers les notions de plans et de droites dans l’espace.
Plus précisément, vous y trouverez quelques définitions nécessaires à l’étude des solides pleins.
Présentation
Soit ces solides présentent des arrondis (boule, cylindre, cône), soit uniquement des faces planes (polyèdres).
Un polyèdre est « régulier » si toutes ses faces sont identiques et il est « convexe » si l’on peut relier deux points quelconques du solide sans que le segment ainsi créé sorte du volume. Il existe cinq solides réguliers convexes (dits « solides de Platon » : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre). Un dodécaèdre possède douze faces pentagonales et un icosaèdre possède vingt faces triangulaires (ça, c’est juste pour la culture mathématique ; il n’est pas obligatoire de savoir tout ça pour passer en première !). Ci-dessous, le ballon n’est pas régulier (pentagones noirs et hexagones blancs).
Volumes
Lorsqu’un solide a deux faces parallèles identiques, on appelle base l’une d'elles et hauteur la distance perpendiculaire qui existe entre ces deux faces. Le volume est égal à l’aire de la base multiplié par la hauteur. Les solides usuels sont le cube, le pavé droit (ou parallélépipède rectangle, voir dessin ci-dessous), le prisme droit (voir en bas de page) et le cylindre de révolution.
Volume du cylindre : \(V = \pi r^2 h.\)
Si le solide est « pointu », le sommet est opposé à la base. La hauteur court du sommet jusqu’à un point perpendiculaire de la base et le volume est égal au tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. C’est le cas du cône de révolution et de la pyramide. Attention, ce qui est nommé « pyramide » n’a pas obligatoirement une base carrée ; ce peut être n’importe quel polygone régulier (et si c'est un triangle, la pyramide est un tétraèdre).
Enfin, la boule se distingue de la sphère car contrairement à elle, elle est pleine. Une boule de rayon \(r\) a pour volume \(V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3.\)
Par exemple, quelle est la contenance d’une sphère d’un diamètre de 20 cm ? On remplace r par 10 dans la formule (puisque si le diamètre est égal à 20, le rayon est égal à 10) et on trouve environ 4 188, 79 cm³. Donc la contenance est d’un peu plus de quatre litres.
Le volume d'un cylindre est égal à 1,5 fois le volume de la boule qui y est inscrite (ce rapport est d'ailleurs le même entre les aires du cylindre et de la sphère inscrite). C'est à Archimède que nous devons cette découverte. Il en était si fier qu'il demanda que ce théorème soit gravé sur sa pierre tombale.
Représentations
En géométrie, les solides sont représentés selon la perspective cavalière. Il n’y a pas le point de fuite auquel l’œil humain est habitué et qui guide les dessinateurs depuis la Renaissance. Les arêtes cachées figurent en pointillés. On peut donner des indications de construction grâce à deux paramètres. \(k\) est un coefficient appliqué aux lignes en perspective. Par exemple, si l’on représente un cube de 1 cm de côté avec \(k = 0,7,\) alors la face frontale mesure \(1 × 1\) cm mais une arête située sur le côté mesure 7 mm sur le dessin. L’autre paramètre est l’angle de fuite (\(α)\) exprimé en degrés. Il est évidemment le même pour tout le dessin puisqu’il n’y a pas de point de fuite.
Ci-dessous, un pavé est représenté en perspective cavalière. L’angle \(α\) est de 45°. Le coefficient \(k\) est égal à environ 0,47 (on admet que les deux côtés forment des carrés). Comme tous les dessins de cette page, il est réalisé avec Excel.
Un exercice de perspective cavalière figure en page octaèdre.
Une autre représentation d’un solide est le patron. Il s’agit d’un éclaté qui pourrait être le solide (vide) avant d’être découpé et plié. C’est le même principe qui existe pour les maquettes en carton, sauf qu’il n’y a pas de pattes pour y mettre de la colle. Tous les solides ne peuvent pas être représentés ainsi : un cylindre oui, une boule non. Il y a toujours plusieurs façons de dessiner le patron d’un solide et pour s’y retrouver, il convient de nommer chaque angle.
Ci-dessous figurent deux patrons possibles pour un même cube.
Et voici le patron d’un prisme droit dont la base est un triangle rectangle.
Un type de problème à résoudre sur les polyèdres consiste à les sectionner pour représenter graphiquement le résultat. Ce type d'exercice réclame une bonne logique.
Pour le patron du cône de révolution, voir la page cône.
Pour aller plus loin...
Le théorème de Descartes-Euler est intéressant. Quel que soit un polygone convexe, soit \(V\) le nombre de sommets, \(A\) le nombre d'arêtes et \(C\) le nombre de faces, l'équation \(V - A + C = 2\) se vérifie toujours ! Par exemple, un cube possède 8 faces, 12 arêtes et 6 côtés. Vérifions : \(4 - 6 + 4 = 2.\) Youpi !
