Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Quelques fonctions trigonométrique

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fonction sécante et autres fonctions trigonométriques

Il existe quelques fonctions trigonométriques qui, sans faire expressément partie du programme de terminale S, se trouvent quelquefois au détour d’un exercice. Elles sont présentées ici à titre d’entraînement dans un cadre d'étude de fonctions.

La fonction sécante

C’est l’inverse de la fonction cosinus.

fonction sécante

Ensemble de définition : dans la mesure où les cosinus de π / 2 et de -π / 2 modulo 2π ne valent rien (= 0), la fonction sécante n’est pas définie pour ces valeurs. Périodicité : la période s’établit à 2π. Parité : la fonction est paire puisque cos (-x)  = cos x.

La fonction cosécante est l’inverse de la fonction sinus. Elle a la même périodicité mais elle est impaire puisque c’est une simple translation de la précédente :

fonction cosécante

C’est d’ailleurs très simple à démontrer avec les formules de trigonométrie :

formule

On en déduit que la fonction sécante admet le point (π / 2 ; 0) comme centre de symétrie et que la fonction cosécante admet la droite d’équation x = π / 2 comme axe de symétrie.

La fonction cotangente est l’inverse de la fonction tangente, c’est-à-dire…

cotangente

Ci-dessus figurent les courbes représentatives des fonctions sécante (en bleu), cosécante (en orange) et cotangente (en rouge). Réalisation Sine qua non.

courbes

NB : voir en page trigonométrie les liens qui existent entre le triangle rectangle et les fonctions sécante, cosécante et cotangente.

La fonction « dos de chameau »

S’il n’y a pas à ma connaissance de fonction « trompe d’éléphant », « cou de girafe » ou « nageoire de requin-marteau », il existe bien une fonction dont la courbe représentative montre une double bosse qui réapparaît périodiquement et peut faire penser à une caravane de chameaux. Il s’agit de la fonction f définie par f(x) = cos x – cos² x.

Cette fonction définie sur R est paire et périodique.

Pour quelles valeurs la fonction admet-elle des extremums entre –π et π ?

La dérivée est f’(x) = sin x (-1 + 2 cos x). Elle s’annule lorsque sin x = 0, c’est-à-dire en 0 et en π, et lorsque cos x = ½, c’est-à-dire en -π / 3 et en π / 3. Il s’ensuit qu’elle est minorée et majorée, respectivement par -2 et par 0,25.

dos de chameau

Une fonction en « papillon »

Restons dans le bestiaire mathématique. Là aussi, il s’agit d’un type de fonction davantage rencontrée en physique qu’en économie : f(x) = x cos x.

On montre facilement qu’elle est impaire mais elle n’est pas périodique. Sa courbe représentative oscille entre les droites D et D’ d’équation = x et = -x pour la bonne raison que cos x oscille entre -1 et 1. Les points de tangence entre la courbe et D se situent là où cos x = 1, c’est-à-dire en 0 et 2 (pour tout k entier relatif). Les points de tangence entre la courbe et D’ se situent là où cos x = -1, donc en π modulo 2π.

La dérivée s’obtient grâce au « modèle » (uv)’ = u’v + uv’. Donc f’(x) = cos x – x sin x. Ainsi f’(0) = 1 et D est une tangente qui traverse la courbe sur l’origine du repère.

papillon

Enfin, une dernière grande classique…

Pour finir en beauté, voici f(x) = x sin (1 / x). Déterminons les limites de cette fonction paire, en zéro et à l’infini.

Un corollaire du théorème des gendarmes est que le produit entre une fonction de limite nulle et une fonction bornée tend vers zéro. Donc…

limite en 0

Quelle est la limite à l’infini ? Nous utiliserons cette fois-ci les fonctions équivalentes. Il est de notoriété publique qu’en zéro, les fonctions f(x) = x et g(x) = sin x sont équivalentes. Par conséquent, si l’on procède à un changement de variable, on s’aperçoit qu’à l’infini…

équivalence

Donc la limite est égale à 1. La preuve en image :

x sin 1/x

 

dos de chameau

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés