Ensembles de définition et valeurs absolues
Lors de l’étude d’une fonction, il est essentiel de d'abord délimiter son ensemble de définition. Sur ce site, vous pouvez d’ailleurs vous entraîner là-dessus (voir la page d’exercices sur ensembles de définition). Les fonctions avec valeurs absolues n’échappent pas à la règle et il nous a semblé utile de consacrer une page d'exercices à ce sujet. Le niveau de difficulté est celui d’une terminale générale.
Il vous est demandé de déterminer l’ensemble de définition D des fonctions à variable réelle dont les expressions figurent ci-dessous.
Logiciels utilisés : GeoGebra pour les courbes, Sine Qua Non pour les tableaux de signes.
Exercice 1
f(x)=√x−|x|
Exercice 2
g(x)=ln(2−|x|)
Exercice 3
h(x)=√2−|x|1−|x|
Corrigé 1
Pour que f soit définie, il faut que l’expression sous radical soit positive et donc que x soit supérieur ou égal à |x|. Ce n’est pas le cas si x<0. Donc D=R+. Notez au passage que si x⩾ alors x = |x| et donc f est une fonction constante (et nulle) sur \mathbb{R}_+.
Corrigé 2
Un logarithme n’est défini que pour des valeurs strictement positives.
Étudions le signe de 2 - |x|.
Premier cas : x \geqslant 0
2 - x \geqslant 0
⇔ x \leqslant 2
En l’occurrence x < 2 puisque \ln 0 n’existe pas.
Second cas : x \leqslant 0
Donc |x| = -x
2 + x \geqslant 0
⇔ x \geqslant -2
Là aussi, -2 ne peut être solution, donc l’inégalité est stricte.
Il s’ensuit que D = ]-2\,;2[.
Pour information, voici la courbe représentative de g, de style gothique.
Corrigé 3
Premièrement, le dénominateur doit être non nul. Par conséquent, x \ne -1 et x \ne 1.
Deuxièmement, l’expression sous radical doit être positive. Examinons deux cas.
Premier cas : x \geqslant 0
Donc |x|= x.
Second cas : x \leqslant 0
Donc |x| = -x.
Ainsi, D = ]-\infty \,; -2[ \cup ]-1 \,;1[ \cup ]2 \,; +\infty[.
À titre d'information, la courbe représentative de h.
