Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les pourcentages d'évolution

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Taux de croissance et évolutions réciproques

Cette page est plus particulièrement adressée aux élèves de première, notamment des filières ES et technologiques (le sujet peut toutefois tomber au bac, voir page exercice sur suite géométrique). Mais en principe, les taux de variation ont déjà été vus en seconde, non pas en maths mais en SES (Sciences Économiques et Sociales) ou en PFEG (Principes Fondamentaux de l'Économie et de la Gestion). Elle expose une notion simple, présente dans la vie quotidienne.

Le pourcentage, puisque c'est de lui qu'il s'agit, permet d’apprécier une évolution. Celle-ci peut s’observer dans le temps mais pas uniquement. Ainsi, un prix évolue d’une période à l’autre mais aussi lorsqu’il passe du hors taxe (HT) au TTC. En revanche, si l’on constate que la part des femmes dans l’entreprise Machinchose était de 41 % et qu’elle est un an plus tard de 45 %, il ne s’agit pas de pourcentages d’évolution mais d’une comparaison de deux pourcentages de proportions (et attention, on ne parle pas ici d'une augmentation de 4 % mais de 4 POINTS).

Selon les circonstances, le pourcentage d’évolution est parfois appelé taux de croissance. Ce terme est cependant à éviter lorsque c’est une baisse qui est observée puisqu'il y a décroissance.

taux de croissance

Un pourcentage d’évolution indique une variation relative. C'est une information complémentaire à celle de la variation absolue. Prenons un exemple simple.

Ci-dessous figurent trois timbres canadiens. Le morse coûte 44 cents, le bœuf musqué coûte 59 cents et le grizzli coûte 76 cents. Les variations ABSOLUES sont obtenues par simple soustraction. Ainsi, il faut débourser 15 cents supplémentaires pour passer du morse au bœuf musqué puis 17 cents pour passer à l’ours.

Toutefois, si l’on utilise le taux de croissance, on constate qu’il est de 34,1 % entre le morse et le bœuf musqué (arrondi à une décimale) et de 28,8 % entre ce dernier et le grizzli. Ceci peut sembler contradictoire puisque la plus forte hausse en variation absolue correspond à la plus faible en valeur relative. Il n’y a évidemment aucune contradiction puisqu’un pourcentage d’évolution dépend de la variation absolue mais aussi de la valeur de départ.

Contrairement au pourcentage de proportion, un taux d'évolution peut dépasser 100 % ou être négatif. Un niveau qui double augmente de 100 %, ou de 200 % s’il triple et ainsi de suite. Donc attention à une erreur souvent commise : un résultat multiplié par 5 n’est pas la même chose que +500 % (il équivaut à 400 %). En revanche, à la baisse, l’évolution ne peut dépasser -100 %.

Lorsque des calculs nécessitent des étapes intermédiaires, c’est le coefficient multiplicateur (ou multiplicatif) qui est utilisé. Il se calcule en divisant la valeur d’arrivée par la valeur de départ. C'est aussi le taux de croissance divisé par 100 puis majoré de 1. Ainsi, une augmentation de 10 % se traduit par un coefficient de 1 + (10 / 100) = 1,1. Une diminution de 10 % se traduit quant à elle par un coefficient de 1 + (-10 / 100) = 0,9.

Ce coefficient est donc tout simplement le nombre par lequel on multiplie la valeur de départ pour obtenir la valeur d’arrivée.

Exemple : 20 + 10 % = 20 + [20 × (10 / 100)] = 20 + (20 × 0,1). Factorisons avec 20.

20 × (1 + 0,1) = 20 × 1,1. Le coefficient est égal à 1,1.

Dans le langage usuel, on emploie le coefficient multiplicateur pour exprimer des hausses de 100 % et plus (voir plus haut).

Généralement, le coefficient multiplicateur est arrondi à quatre chiffres après la virgule ce qui est cohérent avec des pourcentages arrondis au centième. C'est l'arrondi le plus habituel, du moins en économie et en gestion.

On peut résumer tout ceci par de petites formules où V0 est la valeur de départ et V1 la valeur d’arrivée. Ainsi, la variation absolue est (V1 – V0), le coefficient multiplicateur est (V1 / V0) et la variation relative ou taux de croissance est [(V1 – V0/ V0].

Évolution réciproque

Un pourcentage à la hausse suivi d’un même pourcentage à la baisse (ou inversement) ne permet pas de revenir au point de départ. C’est évident puisqu'il ne s’applique plus à la même valeur initiale. En cas d’augmentation de x %, il faut une diminution de plus de x % pour revenir au point de départ. Pour annuler un coefficient multiplicateur dans un sens, il faut calculer l’inverse du coefficient dans l’autre sens.

Exemple : le prix d’une action baisse de 6 %. De combien doit-elle augmenter pour retrouver son niveau de départ ?

Le coefficient multiplicateur s’établit à 1 + (-6 / 100), donc 0,94. Dans l’autre sens, il est donc de 1 / 0,94 soit 1,0638 environ. Ainsi l’action doit progresser de 6,38 % pour revenir à son cours initial. Remarquez que le taux réciproque ne dépend pas des valeurs. On ne sait même pas quel était le prix de l’action…

Le taux réciproque est très pratique pour connaître un prix HT alors que l’on connaît le TTC. Soit un prix TTC de 30,00 €. On sait que le taux de TVA est de 20 %. Quel est le prix HT ?

Réponse : 30 × (1 / 1,2) = 25 €

Notez que plus le pourcentage est élevé, plus la différence est importante entre un taux et son réciproque. Ainsi, une diminution de 50 % est compensée par une hausse de 100 %.

Enfin, remarquez que l’ordre ne change rien : qu’il se produise d’abord une hausse et ensuite une baisse ou l’inverse, un taux a toujours son même réciproque.

Évolution d’un rapport d’évolutions

Voyons une propriété qui n’est pas mentionnée dans les programmes scolaires mais qui peut apparaître dans un exercice de première ES ou de BTS : l’évolution d’un rapport de deux coefficients multiplicateurs s’analyse comme n’importe quelle progression.

Exemple : le pouvoir d’achat se mesure en divisant un revenu par un indice des prix.

Quelle évolution du pouvoir d’achat montre le tableau ci-dessous ?

  Indice des prix Salaire
Janvier n 115 2 600
Janvier n+1 119 2 680

Les prix ont progressé de [(119 / 115) – 1] × 100 = 3,48 % tandis que le salaire n’a augmenté que de 3,08 %. Le rapport des coefficients multiplicateurs est égal à 1,0308 / 1,0348 soit 0,9961. Ce chiffre représente le coefficient du pouvoir d’achat qu’il suffit de transformer en pourcentage : -0,37 %.

Indices

Si l’on dispose de données sous forme d’indice, l’évolution se calcule exactement de la même façon. Pour transformer des données brutes en indice, il faut les diviser par la valeur de départ puis multiplier le résultat par 100. Voir la page évolutions successives.

Exercice sur les pourcentages

Un poissonnier vend un lot de cabillauds 50 euros. Comme ses poissons ne sont plus très frais, il baisse son prix de 10 %. Mais personne n’en veut et ses poissons sentent de plus en plus mauvais. Il s’obstine à vouloir les refiler à quelqu’un et réduit encore son prix de 20 %. Quel est le prix de vente ? Quel pourcentage global de remise le poissonnier accorde-t-il ?

Corrigé

Après le premier rabais, le prix est de 50 × [1 – (10 / 100)], soit 45 euros. Le second rabais diminue le prix à 45 × [1 – (20 / 100), soit 36 euros.

On obtient aussi ce prix en appliquant les taux coefficients multiplicateur en une seule opération : 50 × 0,9 × 0,8 = 36.

Le pourcentage total de rabais s’établit à [(36 – 50) / 50] × 100, soit -28 % (et non pas un rabais de 10 + 20 = 30 %).

On arrive au même résultat en multipliant les deux coefficients : 0,9 × 0,8 = 0,72. Un coefficient de 0,72 correspond à une baisse de (1 – 0,72) × 100 = 28 %.

 

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