Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le pivot de Gauss

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Élimination de Gauss-Jordan

Bien que ce site soit plutôt orienté sur l’aspect pratique des techniques quantitatives, je décris ici une méthode manuelle de résolution des systèmes d'équations. Il est peu probable que vous ayez à l’utiliser en entreprise, divers logiciels s’en chargeant volontiers.

J’exposerai d’abord la technique puis je donnerai deux types d’exemples d’utilisation : la recherche du rang d’un sous-espace vectoriel et la résolution d’un système d’équations.

Précisons que, si cette technique est habituellement associée au nom de Gauss, elle était déjà décrite par Liu Hui à une époque où les divisions étaient particulièrement en vogue (Dioclétien divisait l'empire romain en deux, les Goths se divisaient en Ostrogoths et Wisigoths, etc.). Aucun rapport ? Certes, je m'égare...

La technique

Les propriétés utilisées sont celles des combinaisons linéaires.

L'ordre dans lequel on traite les vecteurs ou l'emplacement d'une équation dans un système n'a pas d'importance (c'est assez évident !) et, si l'on multiplie tous les termes à gauche et à droite d’une équation, cette dernière reste parfaitement valable. Là aussi, il va de soi que 2x + 2y = 2 revient à poser x + y = 1.

Si l'on multiplie les coordonnées d'un vecteur par un même scalaire, on obtient un vecteur qui lui est colinéaire. Enfin, on peut additionner ou soustraire des équations ou des vecteurs entre eux (loi de composition interne). Vecteurs et systèmes, même combat.

Bref, grâce à ces propriétés, il est possible d’isoler un x dans une équation (ou un vecteur de R), un x et un y dans une autre et ainsi de suite. On obtient un système d’équations équivalent avec un triangle de « blancs » ou une famille de vecteurs avec un triangle de zéros. Qu’importe la place de ce triangle (il se trouve en haut à droite dans l’exemple ci-dessous).

Reste à résoudre le système en commençant par la ligne la plus simple où ne figure que le x, de remplacer x dans la deuxième ligne pour trouver y, etc.

Méthode du pivot de Gauss pour les vecteurs

Détaillons sans plus attendre un exemple dans R⁴ où l’on considère une famille de quatre vecteurs (u1 à u4).

étapes

En s’amusant avec les combinaisons linéaires, on arrive à « échelonner » notre famille de vecteurs. Notez bien qu’il existe d’innombrables façons d’arriver soit au même résultat, soit à un résultat équivalent. On constate que les quatre vecteurs sont indépendants. Le rang est donc égal à 4.

Résolution de systèmes linéaires

pivot pour système

Même principe. On obtient un système triangulaire en utilisant des systèmes équivalents méthodiquement choisis.

La méthode peut bien sûr être employée dans le cadre de systèmes avec paramètres.

NB : une simple calculatrice telle que celles autorisées au bac permet de résoudre un système d'équations en utilisant les matrices.

Voir aussi la méthode de Cramer qui permet de résoudre des systèmes d'équations à l'aide de déterminants. Cette dernière est toutefois plus longue (c'est pourquoi les programmes informatiques utilisent le pivot de Gauss).

 

système

 

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