Bien que ce site soit plutôt orienté sur l’aspect pratique des techniques quantitatives, je décris ici une méthode manuelle de résolution des systèmes. Il est peu probable que vous ayez à l’utiliser en entreprise, divers logiciels s’en chargeant volontiers.

J’exposerai d’abord la technique puis je donnerai deux types d’exemples d’utilisation : la recherche du rang d’un sous-espace vectoriel et la résolution d’un système d’équations.

La technique

Les propriétés utilisées sont celles des combinaisons linéaires. L'ordre dans lequel on traite les vecteurs ou l'emplacement d'une équation dans un système n'a pas d'importance. Le résultat sera le même. De plus, si l'on multiplie tous les termes à gauche et à droite d’une équation, cette dernière reste parfaitement valable et si l'on multiplie les coordonnées d'un vecteur par un même scalaire, on obtient un vecteur qui lui est colinéaire. Enfin, on peut additionner ou soustraire des équations ou des vecteurs entre eux (loi de composition interne). Vecteurs et systèmes, même combat.

Bref, grâce à ces propriétés, il est possible d’isoler un x dans une équation (ou un vecteur de Rⁿ), un x et un y dans une autre et ainsi de suite. On obtient un système d’équations équivalent avec un triangle de « blancs » ou une famille de vecteurs avec un triangle de zéros. Qu’importe la place de ce triangle (il se trouve en haut à droite dans l’exemple ci-dessous). Ensuite, il est facile de résoudre notre problème en commençant par la ligne la plus simple où ne figure que le x, de remplacer x dans la deuxième ligne pour trouver y, etc.

Méthode du pivot de Gauss pour les vecteurs

Détaillons sans plus attendre un exemple dans R⁴ où l’on considère une famille de quatre vecteurs (u₁ à u₄).

En s’amusant avec les combinaisons linéaires, on arrive à « échelonner » notre famille de vecteurs. Notez bien qu’il existe d’innombrables façons d’arriver soit au même résultat, soit à un résultat équivalent. On constate que les quatre vecteurs sont indépendants. Le rang est donc égal à 4.

Résolution de systèmes linéaires

Même principe.

NB : si vous souhaitez résoudre un système de trois équations à trois inconnues :

http://www.xm1math.net/netcalcul/systeme33.html