Changement de base et matrices semblables
Une chose ou un concept peuvent toujours être vus de façon différente selon l’angle auquel on se place. Un même sentiment n’est pas perçu de la même manière par tel poète ou par tel psychologue, une réflexion désobligeante de votre directeur n’est pas comprise de façon identique par tous vos collègues, etc. Eh bien il en est de même de ce vecteur \(\overrightarrow u \) qui coulait des jours heureux dans son espace vectoriel jusqu’à ce que quelqu’un vienne modifier la base de son cher espace… Et là, \(\overrightarrow u \) s’en est trouvé complètement déformé…
Présentation
La mésaventure de \(\overrightarrow u \) n’est pas la conséquence d’un sadisme gratuit. L'intérêt d'un changement de base est de simplifier une application linéaire. Si ce changement est judicieux et si l'espace vectoriel de départ est le même que celui d'arrivée, on parle de réduction d'endomorphisme. En analyse des données, par exemple, on peut extraire une symphonie d’une cacophonie. Si vous préférez des explications moins lyriques, la lecture de structures cachées derrière les observations (sondages, statistiques…) est facilitée car contrairement à ce que l’on pourrait penser a priori, la base canonique n’est pas toujours la base la plus pertinente, loin de là.
Ainsi, une analyse factorielle consiste à partir de la base des données (sans jeu de mots) pour ensuite présenter les observations dans une nouvelle base, celle des axes factoriels. Des matrices composent la machinerie qui permet cette métamorphose.
Matrice de passage
Pour en revenir à notre vecteur \(\overrightarrow u \), il n’a plus les mêmes coordonnées lorsqu’il passe d’une base \(B\) à une base \(C\). Et qui fait office de traducteur ? Une matrice de passage, habituellement notée \(P\). Si les coordonnées de \(\overrightarrow u \) dans \(B\) ont pour expression la matrice \(U\) et qu’elles sont exprimées dans \(C\) par \(U'\), il s'ensuit une multiplication de matrices \(U=PU’\). Réciproquement, on a aussi \(U' = {P^{ - 1}}U\) car il existe une seconde matrice de passage qui permet de rebrousser chemin et qui est tout simplement l’inverse de la première.
Découvrons un exemple.
Soit \(\mathscr{E} = \{ \overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \} \) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et \(\mathscr{F}\) une autre base de \(\mathbb{R}^3\).
Soit \(\mathscr{F} = \{ \overrightarrow {{f_1}} ,\overrightarrow {{f_2}} ,\overrightarrow {{f_3}} \} \).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow {{f_1}} = \overrightarrow i + \overrightarrow j }\\
{\overrightarrow {{f_2}} = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow k }\\
{\overrightarrow {{f_3}} = \overrightarrow j - 2\overrightarrow k }
\end{array}} \right.\)
Si l'on fait les choses dans les règles de l'art, on s'assure que le déterminant n'est pas nul pour être certain que \(\mathscr{F}\) est bien une base. Et là, croyez-le, il ne l'est pas.
La matrice de passage \(P\) est donc la suivante. En colonnes figurent les coordonnées des vecteurs de \(\mathscr{F}\) dans la base \(\mathscr{E}\) (par rapport à la présentation ci-dessus, les lignes deviennent colonnes et inversement). \(P\) est bien sûr de rang \(n\) (pas de combinaison linéaire de lignes ou de colonnes).
\(P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0\\ 1&0&1\\ 0&2&{ - 2} \end{array}} \right)\)
\({P^{ - 1}}\) permet le passage de \(\mathscr{F}\) à \(\mathscr{E}\).
Profitons de l’occasion pour détailler l’opération à l’aide d’une calculatrice TI-83. D’abord, touche Matrice. Menu EDIT puis sélection 1 (par exemple). Ce sera la matrice [A]. Entrez les valeurs. Puis à nouveau le menu des matrices mais restez sur la première fenêtre (NOMS). Sélectionnez [A] puis entrer. Il suffit d’appuyer sur la touche x-1 (c'est-à-dire 2nde puis matrice) et de valider pour obtenir la matrice inverse.
\({P^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0,5}&{0,5}&{0,25}\\
{ - 0,5}&{0,5}&{0,25}\\
{ - 0,5}&{0,5}&{ - 0,25}
\end{array}} \right)\)
Conversion de vecteur
Supposons que l’on souhaite « traduire » le vecteur \(\overrightarrow {v} (1;5;10)\) de \(\mathscr{E}\) dans \(\mathscr{F}\). Simple multiplication de matrices…
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0,5}&{0,5}&{0,25}\\
{ - 0,5}&{0,5}&{0,25}\\
{ - 0,5}&{0,5}&{ - 0,25}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
5\\
{10}
\end{array}} \right)\) \(= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{5,5}\\
{4,5}\\
{ - 0,5}
\end{array}} \right)\)
\(\overrightarrow v\) a désormais pour coordonnées \((5,5\,;4,5\,;-0,5).\)
Conversion de matrice
Compliquons un peu. Nous n’allons plus convertir un vecteur mais une matrice carrée \(M\) de la base \(\mathscr{E}\) en matrice \(M’\) de la base \(\mathscr{F}\).
On a alors \(M = PM'{P^{ - 1}}\) et \(M' = {P^{ - 1}}MP\).
Les deux matrices \(M\) et \(M’\) sont dites semblables dans la mesure où elles représentent une unique application linéaire (en l'occurrence un endomorphisme) mais pas dans les mêmes bases. Il s’agit d’un cas particulier de matrices équivalentes. Deux matrices semblables ont le même déterminant et la même trace.
Soit la matrice \(M\), représentant une application dans la base canonique :
\(M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&2\\
4&{ - 1}&0\\
3&2&2
\end{array}} \right)\)
À quoi peut bien ressembler \(M’\) dans la base \(\mathscr{C}\), définie ci-dessus ?
\(\begin{array}{l}
M' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0,5}&{0,5}&{0,25}\\
{ - 0,5}&{0,5}&{0,25}\\
{ - 0,5}&{0,5}&{ - 0,25}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&2\\
4&{ - 1}&0\\
3&2&2
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
1&0&1\\
0&2&{ - 2}
\end{array}} \right)\\
M' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{3,25}&{ - 0,25}&{ - 3}\\
{2,25}&{ - 3,25}&1\\
{ - 0,25}&{ - 3,75}&2
\end{array}} \right)
\end{array}\)
On peut d’ailleurs vérifier que \(M\) et \(M’\) ont le même déterminant (20) et la même trace (2).
