Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le changement de base

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Changement de base et matrices semblables

Une chose ou un concept peuvent toujours être vus de façon différente selon l’angle auquel on se place. Un même sentiment n’est pas perçu de la même manière par tel poète ou par tel psychologue, une réflexion désobligeante de votre directeur n’est pas comprise de façon identique par tous vos collègues, etc. Eh bien il en est de même de ce vecteur u qui coulait des jours heureux dans son espace vectoriel jusqu’à ce que quelqu’un vienne modifier la base de son cher espace… Et là, u s’en est trouvé complètement déformé…

La mésaventure de u n’est pas la conséquence d’un sadisme gratuit. L'intérêt d'un changement de base est de simplifier une application linéaire. Si ce changement est judicieux et si l'espace vectoriel de départ est le même que celui d'arrivée, on parle de réduction d'endomorphisme. En analyse des données, par exemple, on peut extraire une symphonie d’une cacophonie ou, si vous préférez des explications moins lyriques, la lecture de structures cachées derrière les observations (sondages, statistiques…) est facilitée car contrairement à ce que l’on pourrait penser a priori, la base canonique n’est pas toujours la base la plus pertinente, loin de là.

Ainsi, une analyse factorielle consiste à partir de la base des données (sans jeu de mots) pour ensuite présenter les observations dans une nouvelle base, celle des axes factoriels. Des matrices composent la machinerie qui permet cette métamorphose.

Pour en revenir à notre vecteur u, il n’a plus les mêmes coordonnées lorsqu’il passe d’une base B à une base C. Et qui fait office de traducteur ? Une matrice de passage, habituellement notée P. Si les coordonnées de u dans B ont pour expression la matrice U et qu’elles sont exprimées dans C par U’, il s'ensuit une multiplication de matrices U = PU’. Réciproquement, on a aussi U’ = P-1U car il existe une seconde matrice de passage qui permet de rebrousser chemin et qui est tout simplement l’inverse de la première.

Découvrons un exemple.

Soit E la base canonique de R³ et F une autre base de R³ :

bases

F

Si l'on fait les choses dans les règles de l'art, on s'assure que le déterminant n'est pas nul pour être certain que F est bien une base. Et là, croyez-moi, il ne l'est pas.

La matrice de passage P est donc la suivante. En colonnes figurent les coordonnées des vecteurs de F dans la base E (par rapport à la présentation ci-dessus, les lignes deviennent colonnes et inversement). P est bien sûr de rang n (pas de combinaison linéaire de lignes ou de colonnes).

matrice de passage

L’inverse de P permet le passage de F à E.

Je profite de l’occasion pour détailler l’opération à l’aide d’une calculatrice TI-82 STATS. D’abord, touche Matrice ou MATRX. Menu EDIT puis sélection 1 (par exemple). On choisit un format 3×3 puis on entre les neuf nombres qui figurent dans la matrice P. Revenir sur le menu des matrices et choisir NOMS (ou NAMES). Si le nombre surligné correspond bien à la bonne matrice (1 dans notre exemple), on valide (entrée). Il apparaît ainsi sur l’écran le nom de cette matrice, par exemple [A]. Il suffit d’appuyer sur la touche x-1 et de valider pour obtenir la matrice inverse.

inverse de P

Supposons qu’on souhaite « traduire » le vecteur (1 ; 5 ; 10) de la base E dans la base F. Simple multiplication de matrices…

vecteur dans nouvelle base

Ce vecteur a désormais pour coordonnées (5,5 ; 4,5 ; -0,5).

Compliquons un peu. Nous n’allons plus convertir un vecteur mais une matrice carrée M de la base B en matrice M’ de la base C.

On a alors M = PM’P-1 et M’ = P-1MP.

Les deux matrices M et M’ sont dites semblables dans la mesure où elles représentent une unique application linéaire (en l'occurrence un endomorphisme) mais pas dans les mêmes bases. Il s’agit d’un cas particulier de matrices équivalentes. Deux matrices semblables ont le même déterminant et la même trace.

Soit la matrice suivante, représentant une application dans la base canonique :

matrice

À quoi peut bien ressembler M’ dans la base F, définie ci-dessus ?

M'

On peut d’ailleurs vérifier que M et M’ ont le même déterminant (20) et la même trace (2).

 

prisonnier

 

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