Le déterminant

Propriétés et calcul du déterminant

Si le chapitre sur le déterminant trône en bonne place de chaque ouvrage d’algèbre linéaire, telle la statue de Laplace dans son village natal de Beaumont-en-Auge, ce n’est que justice : outil aux propriétés surprenantes et aux multiples usages, le déterminant vous dévoile ici quelques uns de ses secrets.

La première de ses utilisations, et nous ne ferons qu’évoquer les autres sur cette page introductive, est la qualification d’un ensemble de vecteurs : libres ou liés ? Mais avant de répondre à cette question cruciale s’il en est, considérons quelques définitions sur lesquelles s’appuiera la présentation.

 

Forme multilinéaire alternée

Une forme est multilinéaire si elle est linéaire par rapport à chacun de ses vecteurs (ci-dessous, les vecteurs sont nommés \(u\), \(v\) et \(w\), \(a\) étant un scalaire) :

\(f(u,v) + f(w,v) = f(u + w,v)\) et \(f(au,v) = af(u,v)\).

La forme est alternée si son signe change lorsqu’on permute deux vecteurs : \(f(u,v) = - f(v,u)\)

Propriété : si la forme multilinéaire alternée d’une combinaison de vecteurs est égale à zéro, c’est que ces vecteurs sont liés.

 

La fonction déterminant

La fonction déterminant est une application multilinéaire alternée d’un espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\) sur un corps \(\mathbb{K}\) (en clair, un simple nombre qualifie un ensemble de vecteurs) telle que l’application d’une base de \(E\) est égale à 1. Le scalaire obtenu, réel ou complexe, est l'unique déterminant des \(n\) vecteurs (il est « d’ordre \(n\) »).

Pour le distinguer de la matrice carrée qui formalise les coefficients dans l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\), notée entre parenthèses, on indique le déterminant entre deux barres verticales :

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}\\ 4&{ - 1}&3\\ 5&{ - 2}&1 \end{array}} \right)\) donc \({\rm{Dét}}(A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}\\ 4&{ - 1}&3\\ 5&{ - 2}&1 \end{array}} \right|\)

La propriété de multilinéarité permet les jongleries les plus folles :

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}\\ 4&{ - 1}&3\\ 5&{ - 2}&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}\\ 8&{ - 1}&3\\ { - 1}&{ - 2}&1 \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2&{ - 1}\\ { - 4}&{ - 1}&3\\ 6&{ - 2}&1 \end{array}} \right|\)

La linéarité est ici appliquée sur la première colonne. Autre exemple, cette fois sur la deuxième colonne :

\(3\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}\\ 4&{ - 1}&3\\ 5&{ - 2}&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&6&{ - 1}\\ 4&{ - 3}&3\\ 5&{ - 6}&1 \end{array}} \right|\)

Attention, il aurait fallu multiplier le déterminant par 3³, c’est-à-dire 27, si l’on avait multiplié les trois colonnes par 3.

Dans la mesure où l’on peut permuter les lignes et les colonnes, ce qu’on vient de voir sur les colonnes vaut aussi pour les lignes. Exemple de permutation :

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}\\ 4&{ - 1}&3\\ 5&{ - 2}&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4&5\\ 2&{ - 1}&{ - 2}\\ { - 1}&3&1 \end{array}} \right|\)

Si une ligne ou une colonne est combinaison linéaire des autres, le déterminant est nul.

La propriété d’alternance se traduit par un changement de signe lorsqu’on permute deux colonnes ou deux lignes.

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}\\ 4&{ - 1}&3\\ 5&{ - 2}&1 \end{array}} \right| = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&{ - 1}\\ { - 1}&4&3\\ { - 2}&5&1 \end{array}} \right|\)

Du fait de ces propriétés, on ne change pas la valeur d’un déterminant en le collant sur celui d’une matrice identité plus grande…

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ { - 7}&3 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&2&5\\ 0&{ - 7}&3 \end{array}} \right|\)

 

Calcul

Le calcul manuel d’un déterminant n’est pas difficile. Il est juste un peu long si l’ordre est 4 et source de maux de têtes à partir de l’ordre 5…

On choisit une ligne ou une colonne. Ce choix peut être purement hasardeux ou venir à la suite de quelque opération vue ci-dessus. L'intérêt est alors d’obtenir une forme plus facile à travailler (par exemple avec un maximum de zéros). Les éléments de la ligne ou colonne choisie multiplient les déterminants « mineurs » formés par tous les éléments situés sur les autres lignes et colonnes. Ils sont eux-mêmes multipliés par des « co-facteurs » qui sont des puissances de -1, ce qui revient à les affecter du signe + ou – selon leur position dans le déterminant initial (+ et – en alternance, avec un + en haut à gauche) :

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} + & - & + &{{\rm{etc}}{\rm{.}}}\\ - & + & - &{}\\ + & - & + &{}\\ {{\rm{etc}}{\rm{.}}}&{}&{}&{} \end{array}} \right|\]

Supposons que le déterminant initial soit d’ordre 4. Ceci signifie qu’il faut calculer quatre déterminants d’ordre 3. Chacun d’eux nécessite le calcul de trois déterminants d’ordre 2. Si aucune multiplication par zéro ne vient à notre secours, chaque déterminant d’ordre \(n\) nécessite le calcul \(n!\) déterminants…  Jusqu’à l’ordre 2 qui permet un calcul immédiat :

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right| = ad - bc\]

Tout s'éclaire avec un exemple (ci-dessous, on choisit la première colonne).

calcul du déterminant

On remarque que le signe + affecte 1 et 5 tandis que 4 est multiplié par -1 en raison de la position de ces éléments dans le déterminant initial.

Développons : (-1 + 6) – 4(2 – 2) + 5(6 – 1) = 5 – 0 + 25 = 30

Conclusion : le déterminant n’est pas nul. La matrice représente un système libre.

 

Déterminants particuliers et opérations

Dans un article de 1815, Augustin-Louis Cauchy a énoncé quelques propriétés : le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit de leurs deux déterminants, le déterminant d’une matrice est égal à celui de sa transposée, il est nul si deux lignes ou deux colonnes sont égales (comme nous l'avons vu) et il change de signe si deux lignes ou colonnes permuttent (vu également).

Ajoutons que, par définition, le déterminant d’une matrice identité est égal à 1, que celui d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments de sa diagonale et que deux matrices semblables ont le même déterminant.

 

Utilisations

Outre l’éventuelle détermination d’une liaison entre vecteurs, l’emploi du déterminant constitue l’une des façons de résoudre un système d’équations (méthode de Cramer), d’inverser une matrice et de déterminer le polynôme caractéristique.

 

déterminant nul