Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le déterminant

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Propriétés et calcul du déterminant

Si le chapitre sur le déterminant trône en bonne place de chaque ouvrage d’algèbre linéaire, telle la statue de Laplace dans son village natal de Beaumont-en-Auge, ce n’est que justice : outil aux propriétés surprenantes et aux multiples usages, le déterminant vous dévoile ici quelques uns de ses secrets.

La première de ses utilisations, et nous ne ferons qu’évoquer les autres sur cette page introductive, est la qualification d’un ensemble de vecteurs : libres ou liés ? Mais avant de répondre à cette question cruciale s’il en est, considérons quelques définitions sur lesquelles s’appuiera la présentation.

Forme multilinéaire alternée

Une forme est multilinéaire si elle est linéaire par rapport à chacun de ses vecteurs.

multilinéarité

La forme est alternée si son signe change lorsqu’on permute deux vecteurs.

alternance

Propriété : si la forme multilinéaire alternée d’une combinaison de vecteurs est égale à zéro, c’est que ces vecteurs sont liés.

La fonction déterminant

La fonction déterminant est une application multilinéaire alternée d’un espace vectoriel E de dimension n sur un corps K (en clair, un simple nombre qualifie un ensemble de vecteurs) telle que l’application d’une base de E est égale à 1. Le scalaire obtenu, réel ou complexe, est l'unique déterminant des n vecteurs (il est « d’ordre n »).

Pour le distinguer de la matrice carrée qui formalise les coefficients de l'espace vectoriel, notée entre parenthèses, on indique le déterminant entre deux barres verticales :

déterminant

La propriété de multilinéarité permet les jongleries les plus folles :

multilinéarité

La linéarité est ici appliquée sur la première colonne. Autre exemple, cette fois sur la deuxième colonne :

multilinéarité

Attention, il aurait fallu multiplier le déterminant par 3³, c’est-à-dire 27, si l’on avait multiplié les trois colonnes par 3.

Dans la mesure où l’on peut permuter les lignes et les colonnes, ce qu’on vient de voir sur les colonnes vaut aussi pour les lignes. Exemple de permutation :

permutation

Si une ligne ou une colonne est combinaison linéaire des autres, le déterminant est nul.

La propriété d’alternance se traduit par un changement de signe lorsqu’on permute deux colonnes ou deux lignes.

alternance de colonnes

Du fait de ces propriétés, on ne change pas la valeur d’un déterminant en le collant sur celui d’une matrice identité plus grande…

déterminant

Calcul

Le calcul manuel d’un déterminant n’est pas difficile. Il est juste un peu long si l’ordre est 4 et source de maux de têtes à partir de l’ordre 5…

On choisit une ligne ou une colonne. Ce choix peut être purement hasardeux ou venir à la suite de quelque opération vue ci-dessus. L'intérêt est alors d’obtenir une forme plus facile à travailler (par exemple avec un maximum de zéros). Les éléments de la ligne ou colonne choisie multiplient les déterminants « mineurs » formés par tous les éléments situés sur les autres lignes et colonnes. Ils sont eux-mêmes multipliés par des « co-facteurs » qui sont des puissances de -1, ce qui revient à les affecter du signe + ou – selon leur position dans le déterminant initial (+ et – en alternance, avec un + en haut à gauche) :

signes

Supposons que le déterminant initial soit d’ordre 4. Ceci signifie qu’il faut calculer quatre déterminants d’ordre 3. Chacun d’eux nécessite le calcul de trois déterminants d’ordre 2. Si aucune multiplication par zéro ne vient à notre secours, chaque déterminant d’ordre n nécessite le calcul n! déterminants…  Jusqu’à l’ordre 2 qui permet un calcul immédiat :

déterminant d'ordre 2

Tout s'éclaire avec un exemple (ci-dessous, on choisit la première colonne).

calcul du déterminant

On remarque que le signe + affecte 1 et 5 tandis que 4 est multiplié par -1 en raison de la position de ces éléments dans le déterminant initial.

Développons : (-1 + 6) – 4(2 – 2) + 5(6 – 1) = 5 – 0 + 25 = 30

Conclusion : le déterminant n’est pas nul. La matrice représente un système libre.

Déterminants particuliers et opérations

Par définition, le déterminant d’une matrice identité est égal à 1. Ajoutons que celui d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments de sa diagonale et que le déterminant d’une matrice est égal à celui de sa transposée. par ailleurs, deux matrices semblables ont le même déterminant.

Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit de leurs deux déterminants.

Utilisations

Outre l’éventuelle détermination d’une liaison entre vecteurs, l’emploi du déterminant constitue l’une des façons de résoudre un système d’équations (méthode de Cramer), d’inverser une matrice et de déterminer le polynôme caractéristique.

 

déterminant nul

 

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