Le déterminant d'ordre 2

Déterminant et colinéarité

Le déterminant est une notion mathématique importante dont on voit une application en seconde depuis la rentrée 2019 (auparavant, cette notion était absente des programmes du secondaire). À noter que certains manuels n’en font pas mention.

 

Présentation

Soit deux vecteurs du plan \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}}c\\d\end{array}} \right)\)

Le déterminant de ces vecteurs s’écrit et se calcule ainsi :

\(\det \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&c\\b&d\end{array}} \right|\) \(= ad - bc\)

 

Utilité

Le déterminant est l’une des techniques qui permet de savoir si deux vecteurs sont colinéaires. S’ils se sont, le déterminant est nul. Et réciproquement, si le déterminant est nul les vecteurs sont colinéaires.

Exemple. Il est évident que ces deux vecteurs sont colinéaires :

\(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\3\end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\6\end{array}} \right)\)

Calculons leur déterminant.

\(\det (\overrightarrow u ,\overrightarrow v ) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\3&6\end{array}} \right| = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 0\)

Comme nous le pressentions, il est nul. Nos deux vecteurs sont bien colinéaires.

 

Démonstration

Démontrons que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Soit le vecteur \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\end{array}} \right)\)

Soit le vecteur \(\overrightarrow v\) tel que \(\overrightarrow v = k \overrightarrow u\) avec \(k\) réel. Par définition, nos deux vecteurs sont colinéaires.

Premier cas : \(\overrightarrow u\) est le vecteur nul. Le déterminant est donc égal à 0. Or, par définition, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

Second cas : \(\overrightarrow u\) est non nul.

Le déterminant de \(\overrightarrow u\) et \(\overrightarrow v\) est donc :

\(\det (\overrightarrow u ,\overrightarrow v ) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&ka\\b&kb\end{array}} \right| = akb – bka = 0 \)

Nous avons montré que si les vecteurs sont colinéaires alors leur déterminant est nul mais il nous faut aussi montrer la réciproque (l’énoncé contient le fameux « si et seulement si »).

Nous avons toujours notre vecteur \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\end{array}} \right)\) mais nous supposons un vecteur \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}}c\\d\end{array}} \right)\).

Si leur déterminant est nul, cela signifie que \(ad = bc\) donc \(b = \frac{a}{c}d.\)

Les coordonnées du vecteur \(\frac{a}{c} \overrightarrow v\) sont :

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{c} \times c}\\{\frac{a}{c} \times d}\end{array}} \right)\]

Or \(\frac{a}{c} × c = a\) et \(\frac{a}{c} × d = b\) comme nous venons de l’établir.

Donc \(\frac{a}{c} \overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)\)

Il y a bien colinéarité (du moins si \(c ≠ 0\)).

 

Exercice

Soit un plan muni d’un repère orthonormé. Soit les points \(A (4 \, ;5)\) et \(B(-7\, ;2).\) Trouver les coordonnées de \(C(x\, ;0)\) vérifiant l'alignement des trois points.

 

Corrigé

Les points sont alignés si les vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {AC}\) sont colinéaires.

\(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7 - 4}\\{2 - 5}\end{array}} \right)\)

Donc \(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 11}\\{- 3}\end{array}} \right)\)

De même, \(\overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ x - 4}\\{- 5}\end{array}} \right)\)

\(\det (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 11}&{x - 4}\\{ - 3}&{ - 5}\end{array}} \right| = 0\)
\(⇔ (-11) × (-5) - (-3) × (x - 4) = 0\)
\(⇔ 55 + 3(x - 4) = 0\)
\(⇔ 3x = -55 + 12\)
\(⇔ x = -\frac{43}{3}\)

Les coordonnées de \(C\) sont \((-\frac{43}{3}\, ;0).\)

 

Systèmes

Ce qui suit n’est pas au programme de seconde mais si vous êtes curieux, vous serez étonné de savoir qu’un déterminant sert aussi… à résoudre les systèmes d’équations à plusieurs inconnues !

Soit le système suivant :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 4y = 14}\\ {3x + y = 9} \end{array}} \right.\)

Soit \(D\) le déterminant des coefficients de \(x\) et de \(y\).

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\3&1\end{array}} \right| =  - 11\)

À présent, construisons un autre déterminant en remplaçant les coefficients de \(x\) par les seconds membres des égalités.

\(D_x = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}14&4\\9&1\end{array}} \right| =  - 22\)

Il suffit de diviser ce déterminant par le précédent pour trouver la valeur de \(x.\)

\(x = \frac{D}{D_x} = \frac{-22}{-11} = 2\)

Faisons la même chose pour trouver \(y.\)

\(D_y = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&14\\3&9\end{array}} \right| =  - 33\)

\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-33}{-11} = 3\)

Par conséquent, le système admet un couple de solutions, \(x = 2\) et \(y = 3\).