Le système de Cramer

Résolution d'un système par le déterminant

L'une des façons de résoudre un système d’équations est d’utiliser les propriétés du déterminant. Bien que, pour être franc, cette technique très gourmande en opérations a moins la faveur des utilisateurs manuels et des programmeurs que le pivot de Gauss… On l'associe au nom du mathématicien suisse Gabriel Cramer.

 

Le principe

Zappant allégrement le pourquoi du comment, voici tout de suite un exemple afin d'en décortiquer le mécanisme. Le système suivant semble tout à fait charmant :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 2y + 3z = 14}\\
{ - 3x + 4y - z = - 14}\\
{2x - y + 5z = 19}
\end{array}} \right.\)

Calculons d’abord le déterminant \(D\) de la matrice des coefficients. Si celui-ci a le malheur d’être nul, c’est qu’une colinéarité règne funestement sur un système hélas privé de solutions uniques…

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&3\\
{ - 3}&4&{ - 1}\\
2&{ - 1}&5
\end{array}} \right|\)

Nous avons l’embarras du choix pour conduire le calcul de \(D\) grâce à diverses combinaisons linéaires. Choisissons de faire apparaître des zéros sur la première colonne. D’abord, ôtons à la dernière ligne le double de la première.

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&3\\
{ - 3}&4&{ - 1}\\
0&3&{ - 1}
\end{array}} \right|\)

Ajoutons à la deuxième ligne le triple de la première.

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&3\\
0&{ - 2}&8\\
0&3&{ - 1}
\end{array}} \right|\)

La résolution est immédiate (revoyez la technique en page déterminant si vous ne comprenez pas cette étape).

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&8\\
3&{ - 1}
\end{array}} \right| = 2 - 24 = - 22\)

Note : sur Excel amélioré de l’add-in Matrix, on utilise la fonction DETERMAT. C’est encore plus rapide.

Calculons ensuite le déterminant de \(x\). Pour cela, rien de tel que remplacer les coefficients de \(x\) par les valeurs du second terme de l’égalité. Désormais le calcul des déterminants ne sera plus détaillé.

\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}&{ - 2}&3\\
{ - 14}&4&{ - 1}\\
{19}&{ - 1}&5
\end{array}} \right| = - 22\)

Ainsi, pour obtenir la valeur de \(x\) il faut procéder à l'opération suivante :

\(x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{ - 22}}{{ - 22}} = 1\)

Nous procèdons de la même manière avec \(y\) et avec \(z\). Leurs valeurs s’avèrent être respectivement -2 et 3.

 

Autre exemple

Prenons un second exemple. Il s’agit d’un système qui comporte plus d’inconnues réelles que d’équations. Il existe donc une infinité de solutions mais on doit trouver le lien qui existe entre elles. On doit d’abord poser un système d’équations PRINCIPALES de deux équations à deux inconnues, la troisième étant fixée.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4x + 6y - z = - 7}\\
{6x + 9y + 2z = 7}
\end{array}} \right.\)

La matrice des coefficients donne lieu à trois déterminants et non un seul. Voyons le premier (coefficients de \(x\) et \(y\)) :

\({D_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&6\\
6&9
\end{array}} \right| = 0\)

Le système d’équations principales ne peut pas utiliser les variables \(x\) et \(y\). Qu’en est-il avec \(y\) et \(z\) ?

\({D_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6&{ - 1}\\
9&2
\end{array}} \right| = 21\)

Bingo ! Choisissons ces deux là. Les équations principales sont les suivantes :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{6y - z = - 7 - 4x}\\
{9y + 2z = 7 - 6x}
\end{array}} \right.\)

Donc…

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 7 - 4x}&{ - 1}\\
{7 - 6x}&2
\end{array}} \right|}}{{21}}\\
\Leftrightarrow y = \frac{{2\left( { - 7 - 4x} \right) + \left( {7 - 6x} \right)}}{{21}}\\
\Leftrightarrow y = \frac{{ - 2x - 1}}{3}
\end{array}\)

Même procédure avec \(z\).

\(\begin{array}{l}
z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
6&{ - 7 - 4x}\\
9&{7 - 6x}
\end{array}} \right|}}{{21}}\\
\Leftrightarrow z = \frac{{6\left( {7 - 6x} \right) - 9\left( { - 7 - 4x} \right)}}{{21}}\\
\Leftrightarrow z = \frac{{105}}{{21}} = 5
\end{array}\)

Le système admet une infinité de solutions.

\(S = \left\{ {x,\frac{{ - 2x - 1}}{3},5} \right\}\)

Note : en général, on pose \(x=\lambda\) pour bien montrer que cette variable devient un paramètre à fixer. Remarquons également que si \(z\) n’est pas égal à 5, il n’existe aucune solution.

Nous aurions aussi pu commencer par le déterminant excluant \(y\). Il est égal à 14. Nous arrivons aux solutions suivantes, qui corroborent celles que nous venons d’établir.

\(S = \left\{ {\frac{{ - 3y - 1}}{2},y,5} \right\}\)

 

déterminant nul