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(et fondements mathématiques)

Le système de Cramer

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Résolution d'un système par la méthode du déterminant

L'une des façons de résoudre un système d’équations est d’utiliser les propriétés du déterminant. Bien que, pour être franc, cette technique très gourmande en opérations a moins la faveur des utilisateurs manuels et des programmeurs que le pivot de Gauss… On l'associe au nom du mathématicien suisse Gabriel Cramer.

Zappant allégrement le pourquoi du comment, voici tout de suite un exemple afin d'en décortiquer le mécanisme. Le système suivant semble tout à fait charmant :

système

Calculons d’abord le déterminant D de la matrice des coefficients. Si celui-ci a le malheur d’être nul, c’est qu’une colinéarité règne funestement sur un système hélas privé de solutions uniques…

déterminant

Nous avons l’embarras du choix pour conduire le calcul de D. Choisissons de faire apparaître des zéros sur la première colonne. D’abord, ôtons à la dernière ligne le double de la première.

première transformation

Ajoutons à la deuxième ligne le triple de la première.

seconde transformation

La résolution est immédiate.

déterminant

NB : sur Excel amélioré de l’add-in Matrix, on utilise la fonction DETERMAT. C’est encore plus rapide.

Calculons ensuite le déterminant de x. Pour cela, rien de tel que remplacer les coefficients de x par les valeurs du second terme de l’égalité. Désormais le calcul des déterminants ne sera plus détaillé.

dét. x

Ainsi, pour obtenir la valeur de x…

x = 1

Nous procèdons de la même manière avec y et avec z. Leurs valeurs s’avèrent être respectivement -2 et 3.

Prenons un second exemple. Il s’agit d’un système qui comporte plus d’inconnues réelles que d’équations. Il existe donc une infinité de solutions mais on doit trouver le lien qui existe entre elles. On doit d’abord poser un système d’équations PRINCIPALES de deux équations à deux inconnues, la troisième étant fixée.

système

La matrice des coefficients donne lieu à trois déterminants et non un seul. Voyons le premier :

D1 = 0

Le système d’équations principales ne peut pas utiliser les variables x et y. Qu’en est-il avec y et z ?

D2 = 21

Bingo ! Choisissons ces deux là. Les équations principales sont les suivantes :

équations principales

Donc…

y

Même procédure avec z.

z

Le système admet une infinité de solutions de la forme :

solutions

NB : en général, on pose x = λ pour bien montrer que cette variable devient un paramètre à fixer. Remarquons également que si z n’est pas égal à 5, il n’existe aucune solution.

Nous aurions aussi pu commencer par le déterminant excluant y. Il est égal à 14. Nous arrivons aux solutions suivantes, qui corroborent celles que nous venons d’établir.

solutions

 

déterminant nul

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés