La limite d'une suite définie par un+1 = f(un)

Théorème du point fixe

Si vous avez opté pour la spécialité maths en terminale, cette page est pour vous. À travers un exercice, vous naviguerez entre suites et fonctions.

L’enjeu de ce type d’exercice : vous devez déterminer la limite d’une suite convergente définie par une récurrence mais l’expression de cette suite est trop alambiquée pour que sa limite apparaisse immédiatement (ce n'est pas une banale suite géométrique).

Mais d’abord, le théorème sur lequel repose toute la démarche.

 

Théorème du point fixe

En préambule, énonçons un théorème qui nous sera bientôt utile.

Soit une fonction \(f\) définie et continue sur un intervalle \(I.\) Soit \((u_n)\) une suite définie par récurrence avec \(u_0 ∈ I.\) Pour tout \(n ∈ \mathbb{N}\) on peut écrire \(u_{n+1} = f(u_n).\)

Si \((u_n)\) converge vers \(l\) appartenant à ce même intervalle \(I\) alors \(l\) est solution de l’équation \(f(x) = x.\)

La preuve ? Si la suite converge vers \(l\) on peut écrire \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_{n + 1}} = l\)

Or, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_{n + 1}} = f(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}) = l\) donc \(f(l) = l.\)

L’exercice ci-dessous vous permettra de visualiser cette convergence. Il ne serait pas rigoureux de dire qu’à la limite \(u_n = u_{n+1}\) mais graphiquement nous verrons que l’on tend vers cette égalité.

 

Exercice

Cet exercice est un extrait de l’épreuve du bac S de novembre 2014 en Nouvelle-Calédonie.

    On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\, ;+∞[\) par
    \[f(x) = 5 - \frac{4}{x + 2}\]
    On admettra que \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]0\, ;+∞[.\) (...)
  1. Démontrer que \(f\) est croissante sur l’intervalle \(]0\, ;+∞[.\)

  2. Résoudre l’équation \(f(x) = x\) sur l’intervalle \(]0\, ;+∞[.\) On note \(\alpha\) la solution.
    On donnera la valeur exacte de \(α\) puis on en donnera une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

  3. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n,\) \(u_{n+1} = f(u_n).\)
    (...) en utilisant la courbe \(\mathscr{C}\) et la droite \(\mathscr{D},\) placer les points \(M_0,\) \(M_1\) et \(M_2\) d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives \(u_0,\) \(u_1\) et \(u_2.\)

Note : nous n’avons pas présenté la courbe telle qu'elle figurait dans l'énoncé mais elle n’est pas difficile à tracer.

    Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite \((u_n)\) ?
  1. a- Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel \(n,\)
    \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant α\] où \(\alpha\) est le réel défini dans la question 2.
    b- Peut-on affirmer que la suite \((u_n)\) est convergente ? On justifiera la réponse.

 

Corrigé commenté

1- Voici une question classique pour débuter ce type d’exercice : la construction d’un tableau de variation ou, comme ici, la démonstration d’un sens de variation sur un intervalle donné.

Déterminons la dérivée de \(f.\)

\(f’(x) = \frac{4}{(x+2)^2}\)

Sur \(]0\, ;+∞[\) elle est strictement positive donc \(f\) est croissante.

2- Question classique elle aussi, liée au théorème du point fixe.

\(5 - \frac{4}{x + 2} = x\)
\(⇔ \frac{5(x + 2) - 4}{x + 2} = x\)
\(⇔ 5x + 6 = x(x + 2)\) (rappelons que \(x ≠ -2\))
\(⇔ 5x + 6 = x^2 + 2x\)
\(⇔ x^2 - 3x - 6 = 0\)

Calculons le discriminant. \(Δ = 3^2 - 4 × (-6) = 33.\)

\(Δ > 0\) donc l’équation admet deux solutions.

\(x_1 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}\) et \(x_2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}\)

\(x_1\) n’appartenant pas à l’intervalle \([0\, ;+∞[,\) la seule solution est \(\alpha = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}\) soit \(≈ 4,37.\)

3- L’énoncé ne demandait pas de calculer les valeurs de la suite. Voici une représentation réalisée avec GeoGebra.

théorème du point fixe

Nous conjecturons que la suite \((u_n)\) est croissante et qu’elle converge vers \(\alpha.\)

4-a- Soit \(P(n)\) la propriété \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\)

Initialisation : \(u_0 = 1\) et \(u_1 = f(u_0)\) soit \(f(1) = 5 - \frac{4}{3} = \frac{11}{3}\)

Comme \(\frac{11}{3} ≈ 3,7\) on vérifie bien \(0 \leqslant 1 \leqslant \frac{11}{3} \leqslant \alpha.\)

Hérédité : Supposons \(P(n)\) vraie. Comme \(f\) est strictement croissante sur \([0\, ; +∞[\) nous pouvons écrire \(f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(\alpha).\)

\(f(0) = 3\) et \(f(α) = \alpha\) puisque \(α\) est solution de l’équation \(f(x) = x.\)

Donc \(3 \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1} \leqslant \alpha\)
\(⇔ 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \alpha\)

\(P(n)\) est vraie au rang \(n + 1.\)

\(P(0)\) est vraie et pour tout \(n\) entier naturel \(P(n)\) est vraie. La suite est croissante.

b- Nous avons montré que \((u_n)\) était croissante et majorée par \(\alpha.\) D’après le théorème de la limite monotone, \((u_n\)) est convergente et d’après le théorème du point fixe, elle converge vers \(\alpha.\)

 

convergence vers une limite