Un exercice sur suites non monotones

Sens de variation de suites non monotones

Vous qui venez de découvrir le monde des suites et l'étude de leur sens de variation (en particulier si vous êtes en première générale), cette page vous sera utile.

 

Croissance et décroissance

En classe de première, on découvre deux types de suites assez simples : les arithmétiques et les géométriques. La détermination de leur sens de variation n’offre aucune difficulté. Reportez-vous aux pages dédiées à ces types de suites et à la page sur les évolutions de suites.

L'étude du sens de variation d'une suite peut cependant réclamer un peu plus de réflexion, d'autant qu'elle peut être croissante puis décroissante ou inversement. C'est pourquoi il faut pensez à préciser sur quel intervalle une suite est croissante ou décroissante.

Souvent, on étudie le sens de variation d'une suite en déterminant le signe de la différence de l'un de ses termes avec son précédent. On peut aussi rechercher si le quotient d'un terme avec son précédent est supérieur ou non à 1. Ces techniques sont détaillées en page de sens de variation des suites.

Mais lorsqu'une suite \((u_n)\) est présentée de façon explicite, comme peut l'être une fonction, et que vous pouvez poser \(u_n = f(n),\) il peut être plus simple d'étudier le sens de variation de la fonction.

Si \(f\) est croissante sur un intervalle \(I,\) alors la suite est également croissante sur \(I.\) Évidemment, si \(f\) est décroissante, la suite l’est aussi.

Attention, la réciproque est fausse ! On peut très bien avoir \(u_1 = 0,\) \(u_2 = 1,\) \(u_3 = 2,\) etc. et donc \(f(1) = 0,\) \(f(2) = 1,\) \(f(3) = 2...\) Cependant si \(f(1,5) = 10,\) alors la suite est croissante mais \(f\) ne l’est pas. En page d'exercices sur les variations de suites, vous avez l’exemple de la courbe représentative de \(f(x) = \cos(2πx) + 0,2x\) qui zigzague à l’infini mais dont les valeurs prises par \(f\) lorsque \(x\) est un entier sont strictement croissantes.

 

Exemple

Soit la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = (n - 4)^2 + 1\)

\(u_{n + 1} - u_n\) \(= (n + 1 - 4)^2 + 1 - [(n - 4)^2 + 1]\)
 \(\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n\) \(= (n - 3)^2 + 1 - (n - 4)^2 - 1\)
 \(\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n\) \(= n^2 - 6n + 9 - (n^2 - 8n + 16)\)
 \(\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n\) \(= n^2 - 6n + 9 - n^2 + 8n - 16\)
 \(\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n\) \(= 2n - 7\)

Quel est le signe de \(2n - 7\) ?

Le signe est positif pour \(n \geqslant \frac{7}{2}\) c’est-à-dire pour \(n \geqslant 4\) puisque \(n \in \mathbb{N}.\) Il est négatif pour \(n \in [0\,; 4].\) Donc \((u_n)\) est décroissante jusqu’à \(u_4\) puis croissante pour \(n > 4.\)

 

Exercice

Soit la suite \((u_n)\) définie pour \(n \in \mathbb{N}^*\) par \(\frac{2^n}{n^2}\)

Calculer les quatre premiers termes de la suite puis étudier ses variations.

 

Corrigé

Notre suite n’étant pas définie pour \(n = 0,\) ses quatre premiers termes sont \(u_1 = 2,\) \(u_2 = 1,\) \(u_3 = \frac{8}{9},\) \(u_4 = 1.\)

L'expression de \(u_n\) apparaît sous une forme fractionnaire. Pour comparer deux termes consécutifs, il peut être pratique de travailler leur quotient.

\[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}}}}}{{\frac{{{2^n}}}{{{n^2}}}}}\]

Simplifions cette expression barbare.

\(\frac{2^{n + 1}}{(n + 1)^2} \times \frac{n^2}{2^n}\) \(= \frac{2n^2}{(n + 1)^2}\)

Il ne s’agit pas de déterminer le signe du quotient (nous constatons immédiatement qu’il est positif) mais de savoir s'il est supérieur ou inférieur à 1. En effet, comme nous avons divisé un terme par son terme précédent, un quotient supérieur à 1 indique que la suite est croissante et bien sûr, un quotient compris entre 0 et 1 indique qu’elle est décroissante.

Cherchons l’intervalle sur lequel la suite est croissante.

Pour cela, posons : \(2n^2 > (n + 1)^2\)

Vous avez à coup sûr pensé à développer l'identité remarquable.

\(2n^2 > n^2 + 2n + 1\)
\(⇔ n^2 - 2n - 1 > 0\)

Considérons le trinôme \(A = x^2 - 2x - 1\) avec \(x \in \mathbb{R}_+.\) Il nous faut chercher son signe, donc calculer son discriminant (bon, si vous étudiez les suites avant le second degré, vous êtes mal).

\(Δ = (-2)^2 - [4 × (-1)] = 8\)

Le discriminant étant positif, le polynôme admet deux racines. Leur calcul conduit aux valeurs suivantes :

\(x_1 = \frac{2 - \sqrt{8}}{2}\) \(= 1 - \sqrt{2}\) et \(x_2 = 1 + \sqrt{2}.\)

Le signe de \(A\) est positif à l’extérieur des racines (même signe que le coefficient \(a\) qui multiplie \(x^2,\) en l’occurrence +1) et négatif entre elles. Comme la première racine ne peut être retenue (\(x\) étant un réel positif), nous dressons le tableau de signes suivant :

tableau de signes

Revenons à \(n.\) La racine est environ égale à 2,4.

\(n^2 - 2n - 1 > 0\)
\(⇔n > 2,4\)
\(⇔ n = 3\)

La suite \((u_n)\) est décroissante de \(u_1\) à \(u_3\) puis elle est croissante au-delà.

Ci-dessous, la représentation graphique des premiers termes sur l'écran d'une calculatrice TI-82 :

un

 

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