Suites croissantes et décroissantes
Certaines montent, d’autres descendent, d’autres encore vont et viennent… Non, il ne s'agit ni du cours des actions à la bourse, ni des équipes de foot dans le classement du championnat mais des suites numériques.
Rappels
Une suite \((u_n)\) est croissante si \(u_{n + 1} \geqslant u_n,\) avec \(n \in \mathbb{N}\) et décroissante si \(u_{n + 1} \leqslant u_n.\) Voir la page sur le sens de variation des suites.
Lorsqu’une suite est soit croissante, soit décroissante, elle est monotone (comme toute fonction). Parfois, cette monotonie ne se vérifie qu’à partir d’un certain rang.
Le sens de variation des suites peut donc s'appréhender comme le sens de variation des fonctions, tel qu'enseigné en classe de seconde.
Une suite arithmétique est toujours monotone. Elle est croissante si sa raison est positive et décroissante si sa raison est négative.
Une suite définie comme une fonction \(f\) est croissante si \(f\) l’est aussi et, évidemment, elle est décroissante si c’est le cas de \(f.\) En revanche, l’inverse n’est pas toujours vrai comme le montre la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \cos(2πx) + 0,2x\) qui n’est ni croissante ni décroissante, alors que la suite (\(u_n)\) définie par \(u_n = \cos(2πn) + 0,2n\) est croissante (les valeurs correspondent aux sommets observés pour chaque valeur entière de \(x\) sur le graphe ci-dessous).
Mentionnons enfin les suites périodiques. Une suite est de période \(p\) si, pour tout entier naturel \(n,\) \(u_{n + p} = u_n.\) À titre d'exemple, une suite géométrique de raison -1 est de période 2.
Études
Il existe plusieurs techniques pour déterminer un sens de variation. Algébriquement, on peut soit étudier le signe de \(u_{n + 1} - u_n\) (exercices 1 et 2), soit comparer \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\) à 1 si les termes sont positifs (exercice 3). Ces deux techniques sont employées en page de sens de variation des suites (niveau première générale). Lorsque la suite est définie comme une fonction, on étudie le sens de variation de cette dernière (exercice 4).
Les exercices qui suivent sont de niveau première générale.
Exercices
Exercice 1
Étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = 2 + \frac{2}{2n + 5}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}.\)
Exercice 2
Étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n + 1} = u_n^2 - u_n + 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}.\)
Exercice 3
Étudier sur \(\mathbb{N}^*\) le sens de variation de la suite \((u_n)\) définie par : \(u_n = \frac{4^n}{n^2}.\)
Exercice 4
Étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2 - 2n - 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}.\)
Corrigés
Corrigé 1
Déterminons \(u_{n + 1} - u_n\)
\(u_{n + 1} - u_n = 2 + \frac{2}{3(n+1) + 2} - \left(2 + \frac{2}{3n + 2}\right)\)
\(\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n = \frac{2}{3n + 5} - \frac{2}{3n + 2}\)
\(\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n = \frac{2(3n + 2) - 2(3n + 5)}{(3n + 5)(3n + 2)}\)
\(\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n = \frac{6n + 4 - 6n - 10}{(3n + 5)(3n + 2)}\)
\(\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n = -\frac{6}{(3n + 5)(3n + 2)}\)
Comme \(n\) est strictement positif, \(-\frac{6}{(3n + 5)(3n + 2)}\) est strictement négatif. Donc la suite \((u_n)\) est décroissante.
Corrigé 2
Nous avons \(u_{n + 1} - u_n\) \(= u_n^2 - 2u_n + 2.\) Faisons apparaître une identité remarquable.
\(u_{n + 1} - u_n = u_n^2 - 2u_n + 1 + 1\) \(= (u_n - 1)^2 + 1.\)
Un carré étant positif ou nul, \((u_n - 1)^2 + 1 > 0.\) Donc \((u_n)\) est strictement croissante.
Corrigé 3
\[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{{{4^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}}}}}{{\frac{{{4^n}}}{{{n^2}}}}} = \frac{{4{n^2}}}{{{{(n + 1)}^2}}}\]
Étudions la fonction \(f\) définie sur \([1\,; +\infty[\) par \(f(x) = \frac{4x^2}{(x + 1)^2}.\)
Nous avons \(f(1) = 1.\) Si l’on montre que \(f\) est croissante, on montre du même coup que \(f(x) \geqslant 1\) et donc que \((u_n)\) est croissante. Calculons sa dérivée \(f’\) (voir la dérivée d’une fonction quotient).
Soit \(u(x) = 4x^2\) et \(u’(x) = 8x,\) \(v(x) = (x + 1)^2\) et \(v’(x) = 2x + 2.\)
\(f'(x) =\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2}\) \(=\frac{8x(x + 1)^2 - 4x^2(2x + 2)}{(x + 1)^4}\)
Après simplification \(f'(x) = \frac{8x}{(x + 1)^3}\)
Or, \(f’\) est positive pour tout \(x\) appartenant à \([1\,; +\infty[.\) Nous en déduisons que \(f\) est croissante et donc supérieure à 1. La suite \((u_n)\) est strictement croissante.
Note : un exercice très proche mais davantage détaillé se trouve en page d'exercices sur suites non monotones.
Corrigé 4
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) dont l’expression est \(f(x) = x^2 - 2x - 4.\) Sa dérivée est \(f’(x) = 2x - 2.\) On en déduit que \(f\) est décroissante jusqu’au point d’abscisse \(x = 1\) après quoi la dérivée est positive et donc la fonction croît.
On en conclut que la suite \((u_n)\) est décroissante jusqu’à \(n = 1\) (\(u_0 = -4\) et \(u_1 = -5\)) puis qu’elle est croissante.
