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(et fondements mathématiques)

Un exemple de suite arithmético-géométrique

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Suite arithmético-géométrique au bac ES

Dans les lycées français, l’étude des suites arithmético-géométriques fait partie du programme de maths de la terminale ES et de la terminale S.

Cette page présente un exercice tiré de l’épreuve du bac ES de 2010 à Madagascar, spécialité maths (à l’époque, les suites n’étaient enseignées qu’en spécialité mais ce type de problème est depuis 2013 un classique des sujets de bac ES). J’encourage les élèves de terminale S à résoudre eux aussi cet exercice pour lequel il faut s’aider d’une suite géométrique, même s’ils trouveront l’énoncé plutôt directif…

Énoncé

Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite (un) où un désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

1- Montrer que la situation peut être modélisée par u0 = 50 et pour tout entier naturel n par la relation :

un+1 = 0,95 un + 3

2- On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = 60 – un

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,95.

b) Calculer v0. Déterminer l’expression de vn en fonction de n.

c) Démontrer que pour tout entier naturel n :

un = 60 – 10 × (0,95)ⁿ

3- Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l’unité.

4- a) Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l’égalité :

un+1 – un = 0,5 × (0,95)ⁿ

b) En déduire la monotonie de la suite.

5- Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le nombre d’arbres de la forêt en 2010.

6- Déterminer la limite de la suite (un). Interpréter.

Corrigé et explications

1- En 2010, 50 milliers d’arbres passent leur existence dans la forêt. Par conséquent, nous avons bien u0 = 50

Lorsque 5 % des arbres sont lâchement abattus au cours d’une année, il reste…

- 5%

En effet, 0,95 est le coefficient multiplicateur qui correspond à -5 %. Par ailleurs, on replante 3 milliers d’arbres chaque année. Donc un+1 = 0,95 un + 3

2- a) Pour montrer qu’une suite (vn) est géométrique alors qu’elle est exprimée en fonction d’une suite arithmético-géométrique (un), la procédure est toujours la même : il faut exprimer vn+1 en fonction de un+1, puis de un, puis de vn. La démarche est simple car c’est un enchaînement de copier-coller, avec toutefois une factorisation un peu périlleuse…

vn+1 = 60 – un+1
vn+1 = 60 – (0,95 un + 3)
vn+1 = 57 – 0,95 un
vn+1 = 0,95 (60 – un)
vn+1 = 0,95 vn

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,95.

b) Question facile : v0 = 60 – u0 = 60 – 50 = 10

Le énième terme d’une suite géométrique s’exprime comme le premier terme multiplié par la raison à la puissance n. Donc vn = 10 × 0,95.

c) Là encore, il s’agit d’un simple copier-coller. Nous savons que un = 60 – vn, donc un = 60 – 10 (0,95).

3- Le nombre d’arbres en 2015 est donné par u5. En utilisant la formule précédente, on obtient u5 = 52,262, soit 52 262 arbres.

4- a)

un+1 – un = 60 – 10 (0,95)n+1 – 60 + 10 (0,95)n
un+1 – un = 10 × (0,95) (-0,95 + 1)
un+1 – un = 0,5 × 0,95

b) n étant un entier naturel, 0,5 × 0,95 > 0, donc un+1 > un ce qui implique que (un) est une suite strictement croissante.

5- À partir de quelle année le nombre d’arbres aura dépassé 50 000 majoré de 10 %, c’est-à-dire quand un sera supérieur à 55 ? On pose un ≥ 55. Pour résoudre une inéquation, il faut bien sûr retrouver l’expression de un en fonction de n (question 2-c).

60 – 10 (0,95) ≥ 55
10 (0,95) ≤ 5
0,95 ≤ 0,5

Lorsque l’inconnue est une puissance, on appelle à l’aide les logarithmes

ln (0,95) ≤ ln 0,5
n ln 0,95 ≤ ln 0,5

Attention, ln 0,95 étant un nombre négatif, le sens de l’inégalité change…

n

Il s’ensuit que n ≥ 13,51 et comme n est un entier naturel, n = 14. C’est donc 14 ans après 2010, soit en 2024, que le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de 10 % celui de 2010.

6- On sait que la limite à l’infini de qⁿ est 0 si q est strictement compris entre 0 et 1. Donc…

limite

À long terme, la forêt se stabilisera à 60 000 arbres.

 

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